×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Red realnih brojeva     Red realnih brojeva     Kriteriji konvergencije

Nužan uvjet konvergencije

Teorem 6.9   Ako je red $\sum a_n$ konvergentan, tada je $\lim a_n=0$ .

Teorem možemo iskazati drukčije: ako je $\lim a_n\neq 0$ , tada red $\sum a_n$ divergira.

Dokaz.

Neka je

$$% s=\sum a_n =\lim s_n,$$

pri čemu je $\{s_n\}$ limes niza parcijalnih suma. Kako limes niza ne ovisi o pomicanju indeksa za konačan broj mjesta, vrijedi $\lim s_{n-1}=s$ . Sada imamo

$$% \lim a_n=\lim (s_n-s_{n-1}) \stackrel{\textrm{Tm.\ \ref{n1.18} (ii)}} {=} \lim s_n-\lim s_{n-1} =0$$

i teorem je dokazan.     

Q.E.D.

Primjer 6.10   Harmonijski red

$$% \sum \frac{1}{n}$$

ispunjava nužan uvjet konvergencije jer je $\lim \frac{1}{n}=0$ , ali divergira, odnosno $\sum \frac{1}{n}=+\infty$ . Dokažimo tu tvrdnju: niz parcijalnih suma $\{s_k\}$ je strogo rastući, a za njegov podniz $\{s_{2^m}\}$ vrijedi

$$s_{2^m}= \frac{1}{1} +\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+ \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+ \cdots$$

$$+ \left(\frac{1}{2^{m-1}+1}+\frac{1}{2^{m-1}+2}+\cdots+ \frac{1}{2^m}\right)$$

$$> 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+ \left(\frac{1... ...\right)+ \cdots+ \left(\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^m}+\cdots+ \frac{1}{2^m}\right)$$

$$= 1+\frac{m}{2}.$$

Dakle, $\lim_{m\to \infty} s_{2^m}= +\infty$ , što povlači $\lim_{k\to \infty} s_k = +\infty$ .

Napomena 6.3   Red

$$% \sum \frac{1}{n^p}$$

konvergira za $p>1$ , a divergira za $p\leq 1$ , što ćemo analizirati u sljedećem poglavlju.

Red realnih brojeva     Red realnih brojeva     Kriteriji konvergencije