×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Binarne relacije     Binarne relacije     Funkcije

Uređeni skupovi

U ovom poglavlju definirat ćemo relaciju parcijalnog uređaja i uređeni skup te pojmove kao što su gornja međa, donja međa, infimum, supremum, minimum i maksimum. Izreku $(\forall x\in X)(\forall y\in X)$ kraće ćemo zapisati kao $\forall x,y\in X$ .

Definicija 1.5   Relacija parcijalnog uređaja $\leq$ na skupu $X$ je svaka binarna relacija na skupu $X$ koje je refleksivna, tranzitivna i anti-simetrična, odnosno

$$% (x \leq y \wedge y\leq x)\Rightarrow x=y.$$

Ako je $x\leq y$ i $x\neq y$ , pišemo $x<y$ . Također, $x\leq y$ možemo pisati i kao $y\geq x$ . Ako su, dodatno, svaka dva elementa skupa $X$ u relaciji, odnosno $\forall x,y\in X$ vrijedi $x\leq y \vee y\leq x$ , tada je $\leq$ relacija potpunog uređaja, a $X$ je uređen skup.

Na primjer, skup ljudi je potpuno uređen s relacijom $\leq$ koju definiramo kao

$$% x\leq y \Leftrightarrow x \textrm{ nije stariji (viši,lakši) od } y.$$

Naravno, skupovi $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ i $\mathbb{R}$ su potpuno uređeni sa standardnom relacijom uređaja $\leq$ . Ako je $(X,\leq)$ uređen skup, zatvoreni interval definiramo kao

$$% [a,b]=\{ x\in X: a\leq x\leq b\},$$

a otvoreni interval definiramo kao

$$% (a,b)=\{ x\in X: a < x < b\}.$$

Slično definiramo i poluotvorene intervale, $(a,b]$ i $[a,b)$ , kao i skupove tipa $[a,\cdot)=\{x\in X: a\leq x\}$ .

Definicija 1.6   Neka je $(X,\leq)$ uređen skup i $A$ neprazan podskup od $X$ .

i)

Element $m\in X$ je donja međa skupa $A$ ako $\forall a\in A$ vrijedi $m\leq a$ . Skup $A$ je omeđen odozdo ako ima barem jednu donju među. Najveća donja međa ili infimum skupa $A$ je element $\inf A\in X$ sa svojstvima:

• $\inf A$ je donja međa od $A$ ;
• za svaku donju među $m$ skupa $A$ vrijedi $m\leq \inf A$ .

Najmanji element ili minimum skupa $A$ je element $\min A\in A$ koji je ujedno i donja međa skupa $A$ .

ii)

Element $M\in X$ je gornja međa skupa $A$ ako $\forall a\in A$ vrijedi $a\leq M$ . Skup $A$ je omeđen odozgo ako ima barem jednu gornju među. Najmanja gornja međa ili supremum skupa $A$ je element $\sup A\in X$ sa svojstvima:

• $\sup A$ je gornja međa od $A$ ;
• za svaku gornju među $M$ skupa $A$ vrijedi $\sup A\leq M$ .

Najveći element ili maksimum skupa $A$ je element $\max A\in A$ koji je ujedno i gornja međa skupa $A$ .

Neka je, na primjer $X=\mathbb{N}$ i $A=\{5,6,7,8\} \subseteq \mathbb{N}$ . Donje međe skupa $A$ su brojevi $1,2,3,4$ i $5$ . Najveća donja međa je $\inf A=5$ , a kako je $5\in A$ , to je i $\min A =5$ . Nadalje, gornje međe skupa $A$ su brojevi $8,9,10,11,\ldots$ , a $\sup A=\max A=8$ .

Razliku između infimuma i minimuma možemo ilustrirati na skupu realnih brojeva. Neka je, dakle, $X=\mathbb{R}$ i $A=(4,8]\subseteq \mathbb{R}$ . Donje međe skupa $A$ su svi brojevi manji ili jednaki četiri, pa je $\inf A=4$ , dok $A$ nema minimum. S druge strane, gornje međe skupa $A$ su svi brojevi veći ili jednaki osam i vrijedi $\sup A=\max A=8$ .

Primijetimo da su infimum, supremum, minimum i maksimum jedinstveni (ukoliko postoje). Zaista, neka je $m_1=\inf A$ i $m_2=\inf A$ . Prema definiciji 1.6, elementi $m_1$ i $m_2$ su također donje međe skupa $A$ , odnosno

$$% m_1\leq m_2=\inf A \quad \textrm{i} \quad m_2\leq m_1=\inf A,$$

pa iz definicije 1.5 slijedi $m_1=m_2$ .

Binarne relacije     Binarne relacije     Funkcije