×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Laplaceov razvoj     LINEARNA ALGEBRA     Računanje determinante svođenjem na

Svojstva determinanti

Izračunajte determinante sljedećih matrica:

a)

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{bmatrix}$ ,

b)

$B=\begin{bmatrix} -2 & 5 & 0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 7 & -2 \\ 3 & -1 & 0 & 5 & -5 \\ 2 & 6 & -4 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ .

Rješenje.

a)

Korištenjem svojstva D6. iz [M1, poglavlje 2.9.1], determinantu transformirajmo tako da u prvom retku dobijemo što više nula i onda primijenimo Laplaceov razvoj po tom retku. Vrijedi

$$\det A =\begin{matrix}\begin{matrix}\qquad & \scriptstyle{S_2-S_1} & \sc... ... & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix} \end{matrix}$$

$$= \begin{vmatrix}b-a & c-a \\ b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}b-a & c-a \\ (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) \end{vmatrix}$$

$$=(b-a)\begin{vmatrix}1 & c-a \\ b+a & (c-a)(c+a) \end{vmatrix} =(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1 & 1 \\ b+a & c+a \end{vmatrix}$$

$$= (b-a)(c-a)(c-b).$$

b)

Budući da treći stupac ima najviše nula, transformirajmo determinantu tako da u tom stupcu ostane samo jedan element različit od nule. Korištenjem svojstva D6. iz [M1, poglavlje 2.9.1] dobivamo

$$\det B =\begin{vmatrix}-2 & 5 & 0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 7 & -2 \\ 3 & ... ... -1 & 0 & 5 & -5 \\ 2 & 18 & 0 & -7 & -10 \\ 0 & -3 & -1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.$$

Razvojem po trećem stupcu i primjenom istog postupka na prvi stupac dobivene determinante slijedi

$$\det B =(-1)\cdot(-1)^{5+3}\begin{vmatrix}-2 & 5 & -1 & 3 \\ 1 & -9 & 13... ...7 \\ 1 & -9 & 13 & 7 \\ 0 & 26 & -34 & -26 \\ 0 & 36 & -33 & -24 \end{vmatrix}.$$

Razvojem po prvom stupcu i primjenom svojstava D5. i D6. iz [M1, poglavlje 2.9.1] je

$$\det B =-1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-13 & 25 & 17 \\ 26 & -34 & -26 ... ...} \begin{matrix}\scriptstyle{R_1+R_2}\\ \scriptstyle{R_3-R_2}\\ \\ \end{matrix}$$

$$=6\,\begin{vmatrix}0 & 8 & 4 \\ 13 & -17 & -13 \\ -1 & 6 & -5 \en... ...=6\cdot 4\,\begin{vmatrix}0 & 2 & 1 \\ 0 & 61 & 52 \\ -1 & 6 & 5 \end{vmatrix}.$$

Razvojem po prvom stupcu konačno dobivamo

$$\det B = 24\cdot (-1)\cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 61 & 52 \end{vmatrix}=-24\cdot(2\cdot 52-1\cdot 61)=-24\cdot 43$$

$$=-1032.$$

Laplaceov razvoj     LINEARNA ALGEBRA     Računanje determinante svođenjem na