Pramen ravnina

Kroz presjek ravnina zadanih jednadžbama

postavite ravninu koja

a): prolazi točkom .
b): je paralelna s -ravninom.
c): je okomita na ravninu .

Rješenje. Proizvoljna ravnina koja prolazi presjekom zadanih ravnina je dana jednadžbom

$\displaystyle (4x-y+3z-1)+\lambda (x+5y-z+2)=0,$

za neku vrijednost parametara $\lambda\in\mathbb{R}$ . Sređivanjem dobivamo

$\displaystyle (4+\lambda)x+(-1+5\lambda)y+(3-\lambda)z+(-1+2\lambda)=0.$

(3.2)

a)

Uvrštavanjem koordinata točke

, koja leži u ravnini, u (3.2) dobivamo

$\displaystyle (4+\lambda)\cdot1+(-1+5\lambda)\cdot0+(3-\lambda)\cdot2+(-1+2\lambda)=0.$

Odatle je $\lambda=-9$ pa jednadžba tražene ravnine glasi

$\displaystyle 5x+46y-12z+19=0.$

b)

Iz paralelnosti zadane ravnine s

-ravninom slijedi da je vektor normale

$\displaystyle \mathbf{n}=\{4+\lambda, -1+5\lambda, 3-\lambda\}$

okomit na vektore $\mathbf{i}=\{1,0,0\}$ i $\mathbf{j}=\{0,1,0\}$ , pa je $\mathbf{n} \cdot \mathbf{i}=0$ i $\mathbf{n}\cdot \mathbf{j}=0$ . Dobiveni sustav jednadžbi

$\displaystyle 4+\lambda$	$\displaystyle =0,$
$\displaystyle -1+5\lambda$	$\displaystyle =0,$

nema rješenja pa ne postoji ravnina koja ispunjava zadane uvjete.

c)

Ako su ravnine okomite, njihovi vektori normala su okomiti. Vektor normale ravnine

je $\mathbf{n}_1=\{2, -1, 5\}$ i vrijedi $\mathbf{n}_1\cdot \mathbf{n}=0$ , odnosno

$\displaystyle 2(4+\lambda)-(-1+5\lambda)+5(3-\lambda)=0.$

Rješenje ove jednadžbe je $\lambda=3$ , čijim uvrštavanjem u (3.2) dobivamo jednadžbu tražene ravnine:

$\displaystyle 7x+14y+5=0.$

Jednadžba ravnine VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA Okomite ravnine