×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Udaljenost mimosmjernih pravaca     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Zadaci za vježbu

Sjecište simetrale kuta i simetrale stranice

Zadan je trokut s vrhovima $A(2,3,2)$ , $B(0,1,1)$ i $C(4,4,0)$ . Odredite sjecište $S$ simetrale unutarnjeg kuta pri vrhu $A$ i simetrale stranice $AB$ .

Rješenje. Neka je $\pi$ ravnina koja prolazi polovištem $P$ stranice $AB$ okomito na pravac koji prolazi točkama $A$ i $B$ . Nadalje, neka je $p$ pravac kroz točku $A$ s vektorom smjera

$$\mathbf{s}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}.$$

Tada je točka $S$ sjecište ravnine $\pi$ i pravca $p$ . Polovište $P$ stranice $AB$ ima koordinate

$$\left(\frac{2+0}{2},\frac{3+1}{2},\frac{2+1}{2}\right)=\left(1,2,\frac{3}{2}\right),$$

a vektor normale $\mathbf{n}$ je jednak $\overrightarrow{AB}=\{-2,-2,-1\}$ . Stoga jednadžba ravnine $\pi$ glasi

$$-2\cdot (x-1)-2\cdot (y-2)-1\cdot \left(z-\frac{3}{2}\right)=0,$$

odnosno

$$-2x-2y-z+\frac{15}{2}=0.$$

Zbog

$$\mathbf{s}=\frac{-2\mathbf{i}-2\mathbf{j}-\mathbf{k}}{\vert-2\mat... ...)+(2\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k})}{3}=-\frac{1}{3}\,\mathbf{j}-\mathbf{k},$$

možemo za vektor smjera pravca $p$ uzeti kolinearan vektor $\mathbf{s}_1=-\mathbf{j}-3\mathbf{k}$ pa parametarska jednadžba pravca $p$ glasi

$$x=2,\quad y=-t+3,\quad z=-3t+2,\quad t\in\mathbb{R}.$$

Uvrštavanjem u jednadžbu ravnine $\pi$ dobivamo

$$-2\cdot 2-2\cdot (-t+3)-(-3t+2)+\frac{15}{2}=0,$$

odakle je

$$t=\frac{9}{10} \quad\textrm{ i }\quad S\left(2,\frac{21}{10},-\frac{7}{10} \right).$$

Udaljenost mimosmjernih pravaca     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Zadaci za vježbu