×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Kriteriji konvergencije     Red realnih brojeva     Alternirani redovi

Apsolutna konvergencija

U prethodnom poglavlju dani su kriteriji konvergencije za redove s pozitivnim članovima. Razmatranje redova čiji članovi imaju različite predznake je složenije. U nekim slučajevima pomaže nam teorem o apsolutnoj konvergenciji.

Definicija 6.11   Red $\sum a_n$ je apsolutno konvergentan odnosno konvergira apsolutno ako konvergira red $\sum \vert a_n\vert$ .

Za redove s pozitivnim članovima koje smo razmatrali u prethodnom poglavlju vrijedi $a_n=\vert a_n\vert$ pa nema razlike između konvergencije i apsolutne konvergencije.

Sljedeća dva teorema vezana uz apsolutno konvergentne redove navodimo bez dokaza.

Teorem 6.11   Ako je red apsolutno konvergentan, tada je i konvergentan.

Na primjer, redovi

$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+ \frac{1}{64}\cdots$$ (6.2)

i

$$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+ \frac{1}{64}\cdots$$ (6.3)

su apsolutno konvergentni jer je njihov red apsolutnih vrijednosti konvergentan geometrijski red $\sum 1/2^{n-1}$ . Sume su im, naravno, različite.

Apsolutno konvergentni redovi imaju sljedeće važno i korisno svojstvo.

Teorem 6.12   Apsolutno konvergentnom redu smijemo komutirati sumande, to jest redoslijed zbrajanja ne utječe na sumu reda.

Redovi koji su konvergentni, ali nisu apsolutno konvergentni nemaju ovo svojstvo (vidi poglavlje 6.2.4). Po prethodnom teoremu suma reda (6.2) jednaka je

$$% \left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots \right) -\... ...\frac{1}{1-\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{4}}= \frac{2}{3}.$$

Slično, suma reda (6.3) jednaka je

$$\left(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{64}+\cdots \right) -\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{16}+\frac{1}{128}+\cdots \right) -\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{32}+\frac{1}{256}+\cdots \right)$$

$$=\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) \frac{1}{1-\frac{1}{8}}= \frac{2}{7}.$$

Kriteriji konvergencije     Red realnih brojeva     Alternirani redovi