×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Apsolutna konvergencija     Red realnih brojeva     Niz funkcija

Alternirani redovi

Razmatranje redova čiji članovi imaju različite predznake, a koji nisu apsolutno konvergentni, je složenije. U posebnom slučaju kada predznaci alterniraju, pomaže nam Leibnitzov kriterij konvergencije.

Red $\sum a_n$ za koji je $\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits a_{n+1}=-\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits a_n$ za svaki $n$ zove se alternirani red.

Teorem 6.13   [Leibnitz] Alternirani red $\sum a_n$ konvergira ako vrijedi:

i)

$(\exists n_0\in \mathbb{N}) \textrm{ takav da } n\geq n_0 \textrm{ povlači } \vert a_{n+1}\vert \leq \vert a_n\vert$ ,

ii)

$\lim a_n=0$ .

Na primjer, alternirani harmonijski red

$$% \sum (-1)^{n-1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots = \ln 2$$

konvergira po Leibnitzovom kriteriju, ali ne konvergira apsolutno jer red apsolutnih vrijednosti $\sum \frac{1}{n}$ divergira. Zadnju jednakost ćemo dokazati u primjeru 6.21.

Alternirani red

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}= \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11} +\cdots = \frac{\pi}{4}$$

također konvergira po Leibnitzovom kriteriju, ali ne konvergira apsolutno jer red $\sum \frac{1}{2n-1}$ divergira. Zadnja jednakost bit će dokazana u Matematici 2. Pomoću ovog reda možemo izračunati vrijednost broja $\pi$ , međutim konvergencija je vrlo spora.

Pokažimo da teorem 6.12 ne vrijedi za alternirani harmonijski red, odnosno suma reda koji je konvergentan ali nije apsolutno konvergentan ovisi o redoslijedu zbrajanja. Prvo primijetimo da su i pozitivni i negativni dio alterniranog harmonijskog reda beskonačni,

$$% \sum \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum \frac{1}{n}=+\infty,\quad \sum \frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2}\sum \frac{1}{n}=+\infty.$$

Izborom odgovarajućeg redoslijeda zbrajanja, možemo postići bilo koju unaprijed zadanu sumu $s$ (recimo $s>0$ ): uzmemo onoliko pozitivnih članova dok ne pređemo $s$ , zatim uzmemo onoliko negativnih članova dok se ne vratimo ispod $s$ , zatim onoliko pozitivnih članova dok ne pređemo $s$ , i tako dalje. Ovaj postupak možemo ponavljati unedogled jer je svaki ostatak od pozitivnog i negativnog dijela i dalje beskonačan. Dakle, suma će biti jednaka $s$ , a pri tome koristimo sve članove reda. Ovakav postupak očito ne možemo provesti za redove (6.2) i (6.3) jer su i pozitivni i negativni dijelovi tih redova konačni.

Apsolutna konvergencija     Red realnih brojeva     Niz funkcija