×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Red potencija     Red funkcija     Taylorov red

Deriviranje reda funkcija

Kada funkcija $s(x)=\sum f_n(x)$ nije elementarna, ili nema prikladan analitički izraz, njenu derivaciju možemo računati derivirajući pripadni red funkcija.

Naime, ako su sve derivacije $f'_n(x)$ neprekidne i ako red $\sum f'_n(x)$ konvergira, tada vrijedi

$$% \left(\sum f_n(x)\right)' = \sum f'_n(x).$$

Posebno za red potencija vrijedi

$$% \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} na_n(x-x_0)^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1}(x-x_0)^n$$

u svim točkama u kojima red $\sum a_n(x-x_0)^n$ konvergira.

Prethodne tvrdnje nećemo dokazivati, već navodimo sljedeći zanimljiv primjer.

Primjer 6.18   Izračunajmo sumu reda potencija

$$% \sum n x^{n-1} = 1+2x+3x^2+4x^3 +\cdots + nx^{n-1}+\cdots$$

za $\vert x\vert<1$ . Za geometrijski red vrijedi

$$% \sum_{n=0}^{\infty} x^n =\frac{1}{1-x}, \quad \vert x\vert<1.$$

Osim toga

$$% \sum_{n=0}^{\infty} (x^n)'= \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1}= \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}.$$

Ovaj red potencija također konvergira za $\vert x\vert<1$ pa stoga za $\vert x\vert<1$ vrijedi

$$% \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (x^n)' =\left... ...m_{n=0}^{\infty} x^n \right)'=\left(\frac{1}{1-x}\right)' = \frac{1}{(1-x)^2}.$$

Konvergencija reda prikazana je na slici 6.4. Također možete pogledati i animaciju konvergencije.

Slika 6.4: Konvergencija reda potencija