×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Deriviranje reda funkcija     NIZOVI I REDOVI     Indeks

Taylorov red

Razvoj elementarnih funkcija u Taylorov red jedna je od najvažnijih primjena dosadašnjih rezultata ove glave. Pomoću Taylorove formule možemo računati vrijednosti elementarnih funkcija kao $\sin x$ , $e^x$ i $\ln x$ do željene točnosti i to koristeći samo četiri osnovne računske operacije. Dokazi teorema koje navodimo su složeni pa ih izostavljamo.

Teorem 6.17   Neka funkcija $f$ ima na intervalu $(a,b)$ derivaciju reda $n+1$ . Tada za proizvoljnu točku $x_0\in(a,b)$ i za $\forall x\in (a,b)$ vrijedi

$$f(x)=f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+$$

$$\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+ R_n(x),$$ (6.7)

gdje je

$$R_n(x)=\frac{(x-x_0)^{n+1}}{p\cdot n!} (1-\theta)^{n+1-p} f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))$$ (6.8)

za $p\in \mathbb{N}$ i $0<\theta<1$ .

Formula (6.7) zove se Taylorova formula , a izraz u formuli (6.8) je Schlömlichov oblik ostatka. Posebno, za $p=1$ dobivamo Cauchyjev oblik ostatka

$$% R_n(x)=\frac{(x-x_0)^{n+1}}{n!} (1-\theta)^{n} f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0)),$$

a za $p=n+1$ dobivamo Lagrangeov oblik ostatka

$$% R_n(x)=\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0)).$$

Teorem 6.18   Neka funkcija $f$ ima na intervalu $(a,b)$ derivacije proizvoljnog reda. Tada za proizvoljnu točku $x_0\in(a,x)$ i za $\forall x\in (a,b)$ vrijedi

$$f(x)=f(x_0) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$ (6.9)

ako i samo ako niz ostataka $\{ R_n(x)\}$ teži k nuli za $\forall x\in (a,b)$ .

Red potencija (6.9) zove se Taylorov red ili Taylorov razvoj funkcije $f$ u točki $x_0$ . Taylorov razvoj u točki $x_0=0$ zove se MacLaurinov razvoj,

$$f(x)=f(0) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n.$$ (6.10)

Posebno je važna primjena Taylorovog razvoja na elementarne funkcije.

Teorem 6.19   Taylorov red elementarne funkcije $f(x)$ konvergira prema $f(x)$ u svakoj točki svog područja konvergencije.

Primjer 6.19   Nađimo MacLaurinov razvoj funkcije $f(x)=\sin x$ . Uvrštavanje

$$f(0) =0,$$

$$f'(x) =\cos x, f'(0) =1,$$

$$f''(x) =-\sin x, f''(0) =0,$$

$$f'''(x) =-\cos x, \qquad f'''(0) =-1,$$

$$f^{IV}(x) =\sin x, f^{IV}(0) =0,$$

$$f^{V}(x) =\cos x, f^{V}(0) =1, \ldots,$$

u formulu (6.10) daje

$$\sin x = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+ \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}.$$ (6.11)

Zadatak još nije gotov, jer ne znamo za koje vrijednosti $x$ formula (6.11) vrijedi. Po teoremu 6.19 formula vrijedi za sve $x$ za koje red na desnoj strani konvergira. Po D'Alembertovom kriteriju

$$% \lim\frac{\frac{\vert x^{2n+1}\vert}{(2n+1)!}}{\frac{\vert x^{2n-1}\vert}{(2n-1)!}} =\lim \frac{x^2}{2n(2n+1)}=0,$$

odnosno $\rho=+\infty$ (vidi poglavlje 6.4.2), pa formula (6.11) vrijedi za $\forall x\in\mathbb{R}$ . Konvergencija Taylorovog reda prikazana je na slici 6.5. Također možete pogledati i animaciju konvergencije.

Slika 6.5: Taylorov red za $\sin x$

Taylorovu formulu (6.7) koristimo za računanje vrijednosti elementarnih funkcija.

Primjer 6.20   S kolikom točnošću

$$% x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$$

aproksimira funkciju $\sin x$ za $\vert x\vert\leq 1$ ? Koliko je $\sin 1$ ? Pogrešku ćemo izračunati koristeći Lagrangeov oblika ostatka:

$$% \vert R_6(x)\vert=\left\vert\frac{x^7}{7!} \right\vert \vert-\cos (\theta x)\vert \leq \frac{1}{7!}<0.0002.$$

Dakle,

$$% \sin 1=1-\frac{1}{6}+\frac{1}{120} \pm 0.0002=0.841\dot{6} \pm 0.0002.$$

Ovo je gotovo točnost logaritamskih tablica. Točnost je još veća za manje vrijednosti od $x$ , jer je na primjer $\vert R_6(0.25)\vert=0.25^7/7!<1.3\cdot 10^{-8}$ . Izračunajte na ovaj način $\sin 0.25$ i $\sin 0.5$ i usporedite s rezultatima koje daje kalkulator!

Računala računaju funkcije $\sin x$ , $\cos x$ , $e^x$ i $\ln x$ na sličan način, odnosno koristeći samo osnovne računske operacije. Postoje i ''bolji'' polinomi, odnosno polinomi manjeg stupnja s kojima se postiže ista ili veća točnost.

Zadatak 6.5   Izračunajte MacLaurinove razvoje

$$% \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots = 1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad \forall x\in \mathbb{R},$$

i

$$% e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots = 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \quad \forall x\in \mathbb{R}.$$

Za $x=1$ prethodna formula daje

$$% e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots = 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!},$$

što je još jedan prikaz broja $e$ pored definicije iz poglavlja 6.1.3. Konvergencija Taylorovog reda za funkciju $e^x$ prikazana je na slici 6.6. Također možete pogledati i animaciju konvergencije.

Slika 6.6: Taylorov red za $e^x$

Funkciju $\ln x$ ne razvijamo u Taylorov red direktno, nego koristimo jedan od sljedeća dva MacLaurinova razvoja.

Primjer 6.21   Nađimo MacLaurinov razvoj funkcije $f(x)=\ln(1+x)$ . Iz

$$f'(x) =\frac{1}{1+x},$$

$$f''(x) =-\frac{1}{(1+x)^2},$$

$$f'''(x) =(-1)(-2)\frac{1}{(1+x)^3},$$

$$f^{IV}(x) =(-1)(-2)(-3)\frac{1}{(1+x)^4},$$

zaključujemo

$$% f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(1+x)^n},$$

pa je

$$% f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)!.$$

Uvrštavanje u formulu (6.10) daje

$$\ln (1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$$ (6.12)

pa preostaje odrediti za koje vrijednosti $x$ formula vrijedi, odnosno za koje vrijednosti $x$ red potencija na desnoj strani konvergira. Radijus konvergencije reda potencija je (vidi poglavlje 6.4.2)

$$% \rho=\frac{1}{\limsup \frac{\vert a_{n+1}\vert}{\vert a_n\vert}}= \frac{1}{\lim \frac{n}{n+1}}=1$$

pa formula (6.12) vrijedi za $x\in(-1,1)$ .

Dalje, u točki $x=1$ red glasi $\sum (-1)^{n-1}\frac{1}{n}$ pa konvergira po Leibnitzovom kriteriju (vidi poglavlje 6.2.4). U točki $x=-1$ red glasi $-\sum \frac{1}{n}$ pa divergira kao što smo pokazali u primjeru 6.10.

Dakle, formula (6.12) vrijedi za $x\in (-1,1]$ pa pomoću nje možemo izračunati vrijednosti funkcije $\ln x$ za $x\in(0,2]$ . Na primjer, $\ln 2$ možemo izračunati tako što u formulu (6.12) uvrstimo $x=1$ ,

$$% \ln 2= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots,$$

što nam daje sumu alterniranog harmonijskog reda iz poglavlja 6.2.4. Konvergencija reda prikazana je na slici 6.7. Također možete pogledati i animaciju konvergencije.

Slika 6.7: Taylorov red za $\ln (1+x)$

Ukoliko želimo izračunati, na primjer, $\ln 3$ , tada nam formula (6.12) ne koristi, ali možemo korisiti sljedeći razvoj.

Primjer 6.22   Nađimo MacLaurinov razvoj funkcije $f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}$ . Iz

$$% f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)$$

slijedi

$$f'(x) =\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x},$$

$$f''(x) =-\frac{1}{(1+x)^2}+(-1)\frac{1}{(1-x)^2}(-1),$$

$$f'''(x) =(-1)(-2)\frac{1}{(1+x)^3}+1(-2)\frac{1}{(1-x)^3}(-1),$$

$$f^{IV}(x) =(-1)(-2)(-3)\frac{1}{(1+x)^4}+1\cdot 2(-3)\frac{1}{(1-x)^4}(-1).$$

Zaključujemo

$$% f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(1+x)^n}+(n-1)!\frac{1}{(1-x)^n},$$

pa je

$$% f^{(n)}(0)= ( (-1)^{n-1}+1) (n-1)!,$$

odnosno

$$% f^{(2n-1)}(0)=2(2n-2)!, \quad f^{(2n)}(0)=0.$$

Uvrštavanje u formulu (6.10) daje

$$\ln \frac{1+x}{1-x} = 2 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}= 2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots \right).$$ (6.13)

Preostaje odrediti za koje vrijednosti $x$ formula vrijedi. Kako je $\lim\frac{\vert a_{n+1}\vert}{\vert a_n\vert}=x^2$ , red na desnoj strani formule (6.13) konvergira za $\vert x\vert<1$ . U točki $x=1$ red glasi $2\sum \frac{1}{2n-1}$ pa divergira, a u točki $x=-1$ red glasi $-2\sum \frac{1}{2n-1}$ pa također divergira.

Dakle, formula (6.13) vrijedi za $x\in(-1,1)$ pa pomoću nje možemo izračunati vrijednosti funkcije $\ln x$ za $\forall x\in\mathbb{R}$ . Na primjer, $\ln 3$ možemo izračunati tako što ćemo u formulu (6.13) uvrstiti $x=\frac{2}{3}$ . Konvergencija reda prikazana je na slici 6.8. Također možete pogledati i animaciju konvergencije.

Slika 6.8: Taylorov red za $\ln ((1+x)/(1-x))$

Zadatak 6.6   Koliko članova reda treba za računanje $\ln 2$ na četiri decimale kada koristimo formulu (6.12), a koliko kada koristimo formulu (6.13)?

Deriviranje reda funkcija     NIZOVI I REDOVI     Indeks