×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Množenje matrice skalarom     Matrice     Nul-matrica i jedinična matrica

Množenje matrica

Definicija množenja matrica je na prvi pogled neobična, ali upravo nam ona omogućava jednostvno zapisivanje sustava linearnih jednadžbi.

Matrice $A$ i $B$ možemo pomnožiti samo ako su ulančane, odnosno ako $A$ ima onoliko stupaca koliko $B$ ima redaka. Matrica $C=A\cdot B$ ima redaka koliko $A$ i stupaca koliko $B$ . Neka je, dakle, $A$ tipa $m\times k$ i $B$ tipa $k\times n$ . Tada je matrica $C$ tipa $m\times n$ i vrijedi

$$c_{ij}=\sum_{l=1}^{k} a_{il} b_{lj}= a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{ik}b_{kj}.$$ (2.2)

Element $(2,3)$ umnoška

$$% \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ \textcolor{red... ..._{35}\\ b_{41}&b_{42}&\textcolor{magenta}{b_{43}}&b_{44}&b_{45} \end{bmatrix}$$

nalazi se tako da stavite lijevi kažiprst na $a_{21}$ a desni na $b_{13}$ i kažete ''puta''. Tada pomičete kažiprste prema $a_{22}$ i $b_{23}$ govoreći ''plus'' dok se kažiprsti pomiču i ''puta'' kada stignu na cilj. Nastavite li na taj način izračunat ćete

$$% a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}+a_{24}b_{43},$$

što je upravo element $(2,3)$ produkta.

Na primjer,

$$% \begin{bmatrix} 1& 2& 3\\ 4 &5 &6\\ 7 &8& 9 \end{bmatrix}\b... ...{bmatrix} 12 & 5& 7& -2\\ 30 & 17& 16& -5\\ 48 & 29& 25& -8 \end{bmatrix}$$

Uočimo da množenje u obrnutom poretku nije definirano stoga što matrice nisu ulančane. U sljedećem primjeru su oba množenja definirana, ali umnošci nisu istog tipa:

$$\begin{split}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} \begin{bm... ... 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}3 \end{bmatrix}. \end{split}$$

U sljedećem primjeru su umnošci $AB$ i $BA$ istog tipa, ali nisu jednaki:

$$\begin{split}A&= \begin{bmatrix}2&1\\ 1&0 \end{bmatrix}, \qqu... ...quad BA= \begin{bmatrix}-1&-1\\ 12&5 \end{bmatrix}. \end{split}$$

U ovom primjeru su, pak, oba umnoška jednaka:

$$% A= \begin{bmatrix} 2&2\\ 2&2 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin... ...2\\ 2&1 \end{bmatrix}, \quad AB= BA= \begin{bmatrix} 6&6\\ 6&6 \end{bmatrix}.$$

Iz prethodnih primjera zaključujemo kako, za razliku od množenja brojeva,

množenje matrica općenito nije komutativno.

Budite oprezni, jer se ova činjenica lako zaboravi kada se manipulira s formulama koje sadrže matrice.

Teorem 2.1   [Svojstva množenja matrica]Za proizvoljne matrice $A$ , $B$ i $C$ i broj $\lambda$ , ukoliko su svi umnošci definirani vrijedi:

i)

$(AB)C=A(BC)$ (asocijativnost),

ii)

$A(B+C)=AB+AC$ (distributivnost),

iii)

$(A+B)C=AC+BC$ (distributivnost),

iv)

$\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$ .

Primijetimo da zbog općenite nekomutativnosti množenja matrica, moramo posebno navesti distributivnost prema množenju slijeva i zdesna.

Dokaz.

i) neka je $A$ tipa $m\times k$ , $B$ tipa $k\times l$ i $C$ tipa $l\times n$ . Tada je $AB$ tipa $m\times l$ , a $(AB)C$ je tipa $m\times n$ . Za proizvoljni element matrice $(AB)C$ vrijedi:

$$[(AB)C]_{ij} =\sum_{p=1}^l[AB]_{ip} C_{pj}$$

$$= \sum_{p=1}^l \biggl( \sum_{q=1}^k A_{iq}B_{qp} \biggr) C_{pj} =$$

$$= \sum_{p=1}^l \sum_{q=1}^k A_{iq}B_{qp} C_{pj} =$$

$$= \sum_{q=1}^k \sum_{p=1}^l A_{iq}B_{qp} C_{pj} =$$

$$= \sum_{q=1}^k A_{iq} \biggl( \sum_{p=1}^l B_{qp} C_{pj}\biggr)$$

$$= \sum_{q=1}^k A_{iq} [BC]_{qj}$$

$$= [A(BC)]_{ij}.$$

Ostale tvrdnje dokazuju se slično.     

Q.E.D.

Množenje matrice skalarom     Matrice     Nul-matrica i jedinična matrica