×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Kronecker-Capellijev teorem     LINEARNA ALGEBRA     Determinante

Inverzna matrica

Kod množenja realnih brojeva svaki broj različit od nule ima svoj inverz, odnosno

$$% x\cdot x^{-1} = x^{-1}\cdot x =1, \quad \forall x\neq 0.$$

U skupu kvadratnih matrica $\mathcal{M}_n$ imamo sljedeću definiciju.

Definicija 2.5   Matrica $A\in\mathcal{M}_n$ je regularna (invertibilna, nesingularna) ako postoji matrica $B\in\mathcal{M}_n$ za koju vrijedi

$$% AB=BA=I.$$

Matrica je singularna ako nije regularna.

Matrica $B$ je, ukoliko postoji, jedinstvena. Tu tvrdnju dokazujemo na sljedeći način: pretpostavimo da je $C$ neka druga matrica za koju vrijedi $AC=CA=I$ . Tada je

$$% C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B.$$

Stoga možemo uvesti oznaku $B=A^{-1}$ . Matrica $A^{-1}$ zove se inverzna matrica matrice $A$ . Dakle, za svaku regularnu matricu vrijedi

$$AA^{-1}=A^{-1}A=I.$$ (2.7)

Kao što kod brojeva broj nula nema inverz, postavlja se pitanje da li su sve kvadratne matrice regularne. Odgovor na to pitanje daje sljedeći teorem.

Teorem 2.6   Matrica $A\in\mathcal{M}_n$ je regularna ako i samo ako je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=n$ .

Dokaz.

Neka je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=n$ i neka $\mathbf{e}_i$ označava $i$ -ti stupac jedinične matrice. Po Kronecker-Capellijevom teoremu 2.5 svaki od sustava $A\mathbf{x}_i=\mathbf{e}_i$ ima jedinstveno rješenje. Neka je

$$% X=\begin{bmatrix}\mathbf{x}_1&\mathbf{x}_2&\cdots&\mathbf{x}_n\end{bmatrix}.$$

Tada je očito $AX=I$ . Slično, $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A^T)=n$ povlači da svaki od sustava $A^T\mathbf{y}_i=\mathbf{e}_i$ ima jedinstveno rješenje. Ako stavimo

$$% Y=\begin{bmatrix}\mathbf{y}_1&\mathbf{y}_2&\cdots&\mathbf{y}_n\end{bmatrix},$$

tada je očito $A^TY=I$ , odnosno $Y^TA=I$ . Sada imamo

$$% Y^T=Y^TI=Y^T(AX)=(Y^TA)X=IX=X,$$

pa je $X=Y^T=A^{-1}$ , odnosno $A$ je regularna.

Obratno, neka je $A$ regularna. Pretpostavimo da teorem ne vrijedi, odnosno $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)<n$ . Kako su stupci od $A$ zavisni, zaključujemo da postoji vektor $\mathbf{x}\neq \mathbf{0}$ takav da je $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ . No iz $A^{-1}A\mathbf{x}=I\mathbf{x}=\mathbf{0}$ slijedi da je $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ , što je kontradikcija.     

Q.E.D.

Skup $\mathcal{G}_n$ svih regularnih matrica ima sljedeća svojstva:

i)

$\mathcal{G}_n\neq \mathcal{M}_n$ ,

ii)

$I\in\mathcal{G}_n$ ,

iii)

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ za $\forall A,B\in \mathcal{G}_n$ ,

iv)

$(A^{-1})^{-1}=A$ za $\forall A\in \mathcal{G}_n$ .

Svojstvo i) slijedi iz teorema 2.6, svojstvo ii) vrijedi jer $II=I$ povlači $I^{-1}=I$ , svojstvo iii) slijedi iz

$$% (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I,$$

a svojstvo iv) slijedi iz (2.7).

Dokaz teorema 2.6 nam daje postupak za računanje inverzne matrice. Naime, svi sustavi $A\mathbf{x}_i=\mathbf{e}_i$ imaju zajedničku matricu sustava pa proširene matrice svih $n$ sustava možemo pisati zajedno,

$$% \begin{bmatrix} A&\vline & I \end{bmatrix}.$$

Kada pomoću elementarnih transformacija dobijemo oblik

$$% \begin{bmatrix} I&\vline & B \end{bmatrix},$$

tada je $A^{-1}=B$ . Ukoliko se ne može dobiti ovaj oblik, $A$ je singularna.

Zadatak 2.7   Nađite inverznu matricu matrice

$$% A= \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&6 \end{bmatrix}$$

i provjerite da vrijedi (2.7).

Kronecker-Capellijev teorem     LINEARNA ALGEBRA     Determinante