☰ matematika1

Inverzna matrica LINEARNA ALGEBRA Svojstva determinanti

Determinante

Za definiciju determinante potreban nam je pojam permutacije. Permutacija brojeva $1,2,\ldots,n$ je svaka uređena -torka $(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ u kojoj se svaki od brojeva $1,2,\ldots,n$ javlja točno jedanput. Brojevi i su u inverziji ako je i . Permutacija je parna ako je broj inverzija u njoj paran, a neparna inače. Sljedeća tablica prikazuje sve permutacije brojeva , broj inverzija i parnost:

permutacija	# inverzija	parnost
(1,2,3)	0	parna
(1,3,2)	1	neparna
(2,1,3)	1	neparna
(2,3,1)	2	parna
(3,1,2)	2	parna
(3,2,1)	3	neparna

Vidimo da je pola permutacija parno, a pola neparno. To vrijedi za svaki

Teorem 2.7 Vrijedi sljedeće:

i)

broj permutacija od

brojeva jednak je

$\displaystyle % n(n-1)(n-2)\cdots 1\equiv n!,$

ii)

ako u permutaciji $(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ zamijenimo mjesta brojevima

, $p\neq q$ , parnost će se promijeniti.

Dokaz.

i): Prvo mjesto u permutaciji možemo popuniti s brojeva, a drugo mjesto u permutaciji možemo popuniti s preostalih brojeva. To znači da prva dva mjesta možemo popuniti na različitih načina pa prvu tvrdnju možemo dokazati indukcijom.
ii): Ako dva susjedna elementa zamijene mjesta, tada se parnost promijeni. Pretpostavimo sada da je , odnosno i nisu susjedi. Tada možemo prebaciti na -tu poziciji s zamjena susjednih elemenata udesno. Pri tome su se svi elementi $i_{p+1},\ldots,i_q$ pomakli za jedno mjesto ulijevo. Sada pomoću zamjena susjednih elemenata ulijevo prebacimo element s pozicije na poziciju . Pri tome se ostali elementi $i_{p+1},\ldots,i_{q-1}$ vrate na svoja originalna mjesta, a i su zamijenili mjesta. Ukupno smo izvršili , dakle neparni broj zamjena susjednih elemenata pa se parnost promijenila.
Q.E.D.

Zadatak 2.8 Odredite parnost permutacije

, a zatim zamijenite

na način koji je opisan u dokazu teorema 2.7.

Sada možemo definirati determinantu.

Definicija 2.6 Determinanta matrice $A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_n$ je broj

$\displaystyle \det(A)=\sum_{\pi\in \Pi_n} (-1)^{k(\pi)} a_{1i_1} a_{2i_2}\cdots a_{ni_n},$

(2.8)

pri čemu je $\Pi_n$ skup svih permutacija $\pi=(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ , a $k(\pi)$ je broj inverzija u permutaciji $\pi$ .

Determinantu matrice još označavamo s $\vert A\vert$ . Na primjer,

$\displaystyle % \begin{vmatrix}a & b\\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc,$

$\begin{displaymath}\begin{split}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{... ...{red}{\mathbf{2}}}a_{3\textcolor{red}{\mathbf{1}}}. \end{split}\end{displaymath}$

Formulu za determinantu matrice $3\times 3$ jednostavnije pamtimo pomoću Sarrusovog pravila.

Za izračunavanje formule (2.8) potrebno je množenja i zbrajanja, što je praktično neizvedivo za veliki . U poglavlju 2.9.1 ćemo vidjeti kako se determinante efikasno računaju pomoću Gaussove eliminacije.

Svaki umnožak u formuli (2.8) ima točno jedan element iz svakog retka i svakog stupca, pri čemu su indeksi redaka navedeni u osnovnoj permutaciji $(1,2,\ldots,n)$ . No, svaki umnožak možemo zapisati i tako da indeksi stupaca budu u osnovnoj permutaciji. Indeksi redaka tada stoje u inverznoj permutaciji permutacije $\pi$ . Može se pokazati da inverzna permutacija ima istu parnost kao i $\pi$ . Stoga vrijedi

$\displaystyle \det(A)=\sum_{\pi\in \Pi} (-1)^{k(\pi)} a_{i_11} a_{i_22}\cdots a_{i_nn}.$

(2.9)

Zadatak 2.9 Izračunajte determinantu matrice $3\times 3$ prema formuli (2.9) i usporedite s izrazom (2.9) kojeg smo dobili prema formuli (2.8).

Poglavlja

Inverzna matrica LINEARNA ALGEBRA Svojstva determinanti