×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Zbrajanje vektora

Vektori

U ovom poglavlju definirat ćemo pojmove dužine, usmjerene dužine i vektora te navesti osnovno svojstvo trodimenzionalnog Euklidskog prostora $\cal{E}$ . Pretpostavljamo da su pojmovi kao što su pravac, ravnina, kut i prostor poznati.

Definicija 3.1   Dužina $\overline{PQ}$ je skup svih točaka pravca kroz točke $P$ i $Q$ koje se nalaze između točaka $P$ i $Q$ uključivši i njih. Duljina dužine $\overline{PQ}$ je udaljenost točaka $P$ i $Q$ i označava se s $d(P,Q)$ ili $\vert PQ\vert$ .

Usmjerena dužina $\overrightarrow{PQ}$ je dužina kod koje su rubne točke uređene, odnosno točka $P$ je početak ili hvatište, a točku $Q$ svršetak. Udaljenost točaka $P$ i $Q$ se u ovom slučaju zove duljina (norma ili intenzitet) usmjerene dužine $\overrightarrow{PQ}$ i označava s $\vert\overrightarrow{PQ}\vert$ .

Usmjerene dužine $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{P'Q'}$ su ekvivalentne, odnosno

$$% \overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{P'Q'},$$

ako dužine $\overline{P'Q}$ i $\overline{PQ'}$ imaju zajedničko polovište (vidi sliku 3.1) .

Vektor je klasa ekvivalencije usmjerenih dužina. Vektore označavamo s

$$% \mathbf{a},\ \mathbf{b},\ \mathbf{c}, \ldots, \mathbf{a},\ \mathbf{b},\ \mathbf{c}, \ldots.$$

Ako je usmjerena dužina $\overrightarrow{PQ}$ predstavnik vektora $\mathbf{a}$ , tada je duljina (norma ili intenzitet) vektora $\mathbf{a}$ jednaka udaljenosti točaka $P$ i $Q$ . Duljinu vektora označavamo s $\vert\mathbf{a}\vert$ .

Nul-vektor je vektor koji ima početak i kraj u istoj točki. Nul-vektor označavamo s $\mathbf{0}$ , vrijedi $\vert\mathbf{0}\vert=0$ , a njegovi predstavnici su sve usmjerene dužine oblika $\overrightarrow{PP}$ .

Slika 3.1: Ekvivalentne usmjerene dužine

Dokažimo da je relacija $\sim$ iz definicije 3.1 zaista relacija ekvivalencije. Prema definiciji 1.4, relacija ekvivalencije je refleksivna, simetrična i tranzitivna. Očito je $\overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{PQ}$ pa je relacija $\sim$ refleksivna. Također, ako je $\overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{P'Q'}$ , tada je i $\overrightarrow{P'Q'}\sim \overrightarrow{PQ}$ pa je relacija $\sim$ simetrična. Dokaz tranzitivnosti je nešto složeniji. Ukoliko točke $P$ , $Q$ , $P'$ i $Q'$ ne leže na istom pravcu, tada je $\overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{P'Q'}$ ako i samo ako su točke $PQQ'P'$ susjedni vrhovi paralelograma (vidi sliku 3.1). Ukoliko točke $P$ , $Q$ , $P'$ i $Q'$ leže na istom pravcu, tada je $\overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{P'Q'}$ ako i samo ako vrijedi

$$d(P,Q)=d(P',Q') \quad \wedge \quad d(P,P')=d(Q,Q').$$

U ovom slučaju kažemo da su točke $PQQ'P'$ susjedni vrhovi degeneriranog paralelograma. Stoga, ako je

$$% \overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{P'Q'}\qquad \wedge \qquad \overrightarrow{P'Q'}\sim \overrightarrow{P''Q''},$$

tada su točke $PQQ'P'$ susjedni vrhovi nekog paralelograma ili degeneriranog paralelograma, a isto vrijedi i za točke $P'Q'Q''P''$ . Tada su i točke $PQQ''P''$ susjedni vrhovi nekog paralelograma ili degeneriranog paralelograma. Dakle $\overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{P''Q''}$ pa je relacija $\sim$ tranzitivna.

Vezu između usmjerenih dužina i vektora daje nam osnovno svojstvo euklidskog prostora: ako je $P\in \cal{E}$ proizvoljna točka i $\mathbf{a}$ zadani vektor, tada postoji jedinstvena točka $Q$ takva da je usmjerena dužina $\overrightarrow{PQ}$ predstavnik vektora $\mathbf{a}$ . S ovim postupkom je vektor $\mathbf{a}$ sveden na početak $P$ odnosno nanesen na $P$ . U primjenama često pišemo i

$$% \mathbf{a}=\overrightarrow{PQ}.$$

Premda taj zapis nije sasvim korektan jer je vektor $\mathbf{a}$ klasa ekvivalencije, a $\overrightarrow{PQ}$ samo jedan predstavnik tog vektora, zbog osnovnog svojstva euklidskog prostora uvijek je jasno o kojem se vektoru radi. Stoga uglavnom nećemo praviti razliku između vektora i njegovog predstavnika.

Definicija 3.2   Vektori $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ su kolinearni ako leže na istom ili paralelnim pravcima. Ako su vektori $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ kolinearni, možemo odbrati točke $O$ , $A$ i $B$ koje leže na istom pravcu takve da je

$$% \mathbf{a}=\overrightarrow{OA}, \qquad \mathbf{b}=\overrightarrow{OB}.$$

Vektori $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ imaju istu orijentaciju ako se točke $A$ i $B$ nalaze s iste strane točke $O$ . Vektori $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ imaju suprotnu orijentaciju ako se točke $A$ i $B$ nalaze s različitih strana točke $O$ .

Iz definicije slijedi da su dva vektora jednaka ako su kolinearni, istog smjera i jednake duljine. Posebno, nul-vektor je kolinearan sa svakim vektorom i za njega nema smisla govoriti o orijentaciji.

VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Zbrajanje vektora