Zbrajanje vektora

U ovom poglavlju definirat ćemo operaciju zbrajanja vektora te dati njena osnovna svojstva.

Definicija 3.3 Neka su zadani vektori $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ i točke

takve da je

$\displaystyle % \mathbf{a}=\overrightarrow{OA}, \qquad \mathbf{b}=\overrightarrow{AB}.$

Zbroj vektora $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ je vektor $\mathbf{c}=\overrightarrow{OB}$ . Ovakav način zbrajanja vektora zove se pravilo trokuta i prikazan je na slici 3.2.

**Slika 3.2:** Zbrajanje vektora (pravilo trokuta)
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/zbrtrok.eps,width=8.4cm}\end{center}\end{figure}$

Vektore također možemo zbrajati i po pravilu paralelograma koje je prikazano na slici 3.3. Više vektora zbrajamo po pravilu poligona kao što je prikazano na slici 3.4: ako su zadani vektori $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots, \mathbf{a}_n$ i točke $O,A_1,A_2,\ldots,A_n$ takve da je

$\displaystyle % \mathbf{a}_1=\overrightarrow{OA_1},\quad \mathbf{a}_2=\overrightarrow{A_1A_2},\quad \ldots, \quad \mathbf{a}_n=\overrightarrow{A_{n-1}A_n},$

tada je

$\displaystyle % \mathbf{a}=\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\cdots +\mathbf{a}_n = \overrightarrow{OA_n}.$

**Slika 3.3:** Pravilo paralelograma
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/zbrpar.eps,width=8.4cm}\end{center}\end{figure}$

**Slika 3.4:** Pravilo poligona
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/zbrpol.eps,width=8.4cm}\end{center}\end{figure}$

Zbrajanje vektora ima sljedeća svojstva:

Z1.

$(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ (asocijativnost),

Z2.

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$ (komutativnost),

Z3.

za nul-vektor $\mathbf{0}$ vrijedi $\mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{a}=\mathbf{a}$ ,

Z4.

za svaki vektor $\mathbf{a}=\overrightarrow{PQ}$ postoji suprotni vektor $-\mathbf{a}=\overrightarrow{QP}$ takav da je

$\displaystyle % \mathbf{a}+(-\mathbf{a})=\mathbf{a}-\mathbf{a}=\mathbf{0}.$

Suprotni vektor je kolinearan s $\mathbf{a}$ , ima istu duljinu i suprotnu orijentaciju.

Svojstva Z2, Z3 i Z4 slijede direktno iz definicije zbrajanja vektora, dok je svojstvo Z1 prikazano na slici 3.5.

**Slika 3.5:** Asocijativnost zbrajanja vektora
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/asocvek.eps,width=9.6cm}\end{center}\end{figure}$

Vektori VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA Množenje vektora skalarom