×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Pravac     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Primjene

Ravnina

Ravnina $\rho$ je u prostoru ${\cal E}$ zadana s tri točke $T_1$ , $T_2$ i $T_3$ koje ne leže na istom pravcu. Za svaku točku $T$ koja leži u ravnini $\rho$ vektori $\overrightarrow{T_1T}$ , $\overrightarrow{T_1T_2}$ i $\overrightarrow{T_1T_3}$ su komplanarni (slika 3.17). Stoga je volumen paralelopipeda što ga razapinju ti vektori jednak nula (primjer 3.8), odnosno

$$\overrightarrow{T_1T}\cdot (\overrightarrow{T_1T_2}\times \overrightarrow{T_1T_3})=0.$$ (3.10)

Uz oznake

$$% \mathbf{r}_1=\overrightarrow{OT_1}, \qquad \mathbf{r}=\overrigh... ...{OT}, \qquad \mathbf{n}=\overrightarrow{T_1T_2}\times \overrightarrow{T_1T_3},$$

jednadžba (3.10) prelazi u vektorsku jednadžbu ravnine

$$(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)\cdot \mathbf{n}=0.$$ (3.11)

Vektor $\mathbf{n}$ je normalni vektor ili normala ravnine $\rho$ . Svaki vektor kolinearan s $\mathbf{n}$ je također normala ravnine $\rho$ .

Slika 3.17: Ravnina u prostoru

Ako je u koordinatnom sustavu $(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$

$$% \mathbf{n}=\{A,B,C\},\qquad \mathbf{r}_1=\{ x_1,y_1,z_1\},\qquad \mathbf{r}=\{x,y,z\},$$

tada vektorska jednadžba ravnine (3.11) prelazi u jednadžbu ravnine kroz točku $T_1=(x_1,y_1,z_1)$ ,

$$A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0.$$ (3.12)

Sređivanje gornje jednadžbe daje opći oblik jednadžbe ravnine

$$Ax+By+Cz+D=0.$$ (3.13)

U obje jednadžbe (3.12) i (3.13) brojevi $A$ , $B$ i $C$ su skalarne komponente vektora normale $\mathbf{n}$ .

Ako je

$$% T=(x,y,z), \qquad T_i=(x_i,y_i,z_i),\qquad i=1,2,3,$$

tada jednadžbu (3.10) možemo zapisati pomoću determinante. To nam daje jednadžbu ravnine kroz tri točke,

$$\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1& z_3-z_1\end{vmatrix} =0 .$$ (3.14)

Zadatak 3.6   Pokažite da je jednadžba (3.14) ekvivalentna s

$$% \begin{vmatrix} x&y&z&1\\ x_1&y_1&z_1&1\\ x_2&y_2&z_2&1\\ x_3&y_3&z_3&1 \end{vmatrix} =0.$$

Ako ravnina $\rho$ ne prolazi ishodištem i ako za točke $T_1$ , $T_2$ i $T_3$ odaberemo sjecišta ravnine s koordinatnim osima,

$$% T_1=(a,0,0),\qquad T_2=(0,b,0),\qquad T_3=(0,0,c), \qquad a,b,c\neq 0,$$

tada iz (3.14) rješavanjem determinante

$$% \begin{vmatrix} x-a&y&z\\ -a&b&0\\ -a&0&c\end{vmatrix} =0$$

dobijemo segmentni oblik jednadžbe ravnine

$$% \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1, \qquad a,b,c\neq 0.$$

Pravac     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Primjene