Mješoviti produkt

Definicija 3.6 Mješoviti produkt ili vektorsko-skalarni produkt vektora $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ je broj

$\displaystyle (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$	$\displaystyle = \vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\vert\, \vert\mathbf{c}\vert \cos \angle (\mathbf{a}\times\mathbf{b}, \mathbf{c})$
	$\displaystyle =\vert\mathbf{a}\vert\, \vert\mathbf{b}\vert\sin\angle(\mathbf{a}... ...f{b})\,\vert\mathbf{c}\vert \cos \angle(\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{c}).$

Mješoviti produkt jednak je volumenu ili negativnoj vrijednosti volumena paralelopipeda kojeg razapinju vektori $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ . Naime,

Također zaključujemo da je $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=0$ ako i samo ako je barem jedan od vektora nul-vektor ili ako su vektori komplanarni, odnosno linearno zavisni.

**Slika 3.13:** Mješoviti produkt
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/mjesp.eps,width=9.6cm}\end{center}\end{figure}$

Teorem 3.4 Ako je

$\displaystyle % \mathbf{a}=\{a_x,a_y,a_z\}, \qquad \mathbf{b}=\{b_x,b_y,b_z\}, \qquad \mathbf{c}=\{c_x,c_y,c_z\},$

tada je

$\displaystyle % (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\begin{vmatrix} a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z \end{vmatrix}$

Zadatak 3.3 Koristeći teorem 3.4 i svojstvo determinante D3 iz poglavlja 2.9.1 dokažite da je

$\displaystyle (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$	$\displaystyle =(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\cdot \mathbf{a}= (\mathbf{c}\times\mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=-(\mathbf{a}\times\mathbf{c})\cdot \mathbf{b}$
	$\displaystyle =-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})\cdot \mathbf{c}= -(\mathbf{c}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{a}.$

Slično kao što pomoću vektorskog produkta možemo računati površine poligonalnih likova (primjer 3.7), tako pomoću mješovitog produkta i teorema 3.4 možemo računati volumene svih tijela koja su omeđena samo s ravnim plohama.

Primjer 3.8 Izračunajmo volumen tetraedra

zadanog točkama

$\displaystyle % A=(0,-1,0),\quad B=(3,3,0), \quad C=(-1,3,1), \quad D=(1,1,4).$

Volumen tetraedra jednak je šestini volumena paralelopipeda razapetog vektorima $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{AD}$ (slika 3.14). Kako je

$\displaystyle % \overrightarrow{AB}=\{3,4,0\}, \quad \overrightarrow{AC}=\{-1,4,1\},\quad \overrightarrow{AD}=\{1,2,4\},$

vrijedi

$\displaystyle % V=\frac{1}{6}\, \vert(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow... ... \begin{vmatrix}3&4&0\\ -1&4&1\\ 1&2&4 \end{vmatrix}\, \bigg\vert=\frac{62}{6}$

Uočimo da smo na jednostavan način riješili naočigled složen problem, jer smo našli volumen tijela, a nismo ga morali niti skicirati. Na isti način možemo provjeriti leže li četiri točke u istoj ravnini, jer će u tom slučaju volumen tetraedra biti nula. Na sličan način možemo izračunati volumen bilo kojeg tijela koje je omeđeno samo s ravnim plohama, jer svako takvo tijelo možemo podijeliti na tetraedre.

**Slika 3.14:** Volumen tetraedra
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/vtet.eps,width=9.6cm}\end{center}\end{figure}$

Zadatak 3.4 Izračunajte volumen tetraedra iz prethodnog primjera pomoću paralelopipeda razapetog s vektorima $\overrightarrow{BA}$ , $\overrightarrow{BC}$ i $\overrightarrow{BD}$ . Moramo li uzeti vektore s hvatištem u istom vrhu?