×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Primjene     Primjene     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE

Primjeri

Sljedeći primjeri ilustriraju nalaženje sjecišta pravca i ravnine, projekcije točke na pravac i udaljenosti točke od pravca te projekcije točke na ravninu i udaljenosti točke od ravnine.

Primjer 3.12   Odredimo točku $T$ u kojoj se sijeku pravac

$$% p \quad \ldots \quad \frac{x-1}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{3}$$

i ravnina $\rho$ zadana s $x+2y+z-3=0$ . Parametarska jednadžba pravca glasi

$$% \begin{cases} x=1-t\\ y=3+2t\\ z=2+3t \end{cases}\qquad t\in \mathbb{R}.$$

Uvrštavanje u jednadžbu ravnine daje

$$% 1-t+2(3+2t)+2+3t-3=0,$$

odnosno $t=-1$ . Uvrštavanje ove vrijednosti $t$ u parametarsku jednadžbu pravca daje $x=2$ , $y=1$ i $z=-1$ pa je tražena točka $T$ jednaka (slika 3.18)

$$% p\cap\rho=T=(2,1,-1).$$

Slika 3.18: Sjecište pravca i ravnine

Primjer 3.13   Odredimo projekciju $T'$ točke $T=(4,4,5)$ na pravac

$$% p\quad \ldots \quad \frac{x-4}{1}=\frac{y-6}{2}=\frac{z+1}{-1}$$

i udaljenost točke $T$ od pravca $p$ .

Za određivanje projekcije odredit ćemo pomoćnu ravninu $\rho$ koja prolazi točkom $T$ , a okomita je na pravac $p$ . Točka $T'$ je sjecište pravca $p$ i ravnine $\rho$ (slika 3.19).

Normala ravnine $\rho$ jednaka je vektoru smjera pravca $p$ ,

$$% \mathbf{n}=\mathbf{s}=\{1,2,-1\}.$$

Ravnina prolazi točkom $T$ pa formula (3.12) daje

$$% x-4+2(y-4)-(z-5)=0.$$

Nađimo sjecište pravca i ravnine kao u primjeru 3.12: parametarska jednadžba pravca $p$ glasi

$$% \begin{cases} x=4+t\\ y=6+2t\\ z=-1-t \end{cases}\qquad t\in \mathbb{R}$$

pa uvrštavanje u jednadžbu ravnine daje $t=-\frac{5}{3}$ . Uvrštavanje $t$ u parametarsku jednadžbu pravca daje

$$% T'=\left(\frac{7}{3},\frac{8}{3},\frac{2}{3}\right).$$

Konačno,

$$% d(T,p)=\vert\overrightarrow{TT'}\vert=\sqrt{\left( \frac{7}{3}-... ...4 \right)^2+\left( \frac{2}{3}-5 \right)^2} =\frac{\sqrt{210}}{3}\approx 4.83.$$

Slika 3.19: Projekcija točke na pravac

Primjer 3.14   Odredimo projekciju $T'$ točke $T=(4,4,5)$ na ravninu

$$% \rho \quad \ldots \quad 3x+6y+2z-6=0$$

i udaljenost točke $T$ od ravnine $\rho$ .

Prvo ćemo naći pomoćni pravac $p$ koji prolazi točkom $T$ , a okomit je na ravninu $\rho$ . Točka $T'$ je tada sjecište pravca i ravnine (slika 3.20).

Vektor smjera pravca $p$ jednak je normali ravnine $\rho$ ,

$$% \mathbf{s}=\mathbf{n}=\{3,6,2\}.$$

Pravac prolazi točkom $T$ pa njegova parametarska jednadžba glasi

$$% \begin{cases} x=4+3t\\ y=4+6t\\ z=5+2t \end{cases}\qquad t\in \mathbb{R}.$$

Slično kao u prethodnom primjeru, uvrštavanje u jednadžbu ravnine daje $t=-\frac{40}{49}$ , odnosno

$$% T'=\left(\frac{76}{49},\frac{-44}{49},\frac{165}{49}\right) \approx (1.55,-0.9,3.37).$$

Konačno

$$% d(T,\rho)=\vert\overrightarrow{TT'}\vert=\frac{280}{49}\approx 5.71.$$

Slika 3.20: Projekcija točke na ravninu

Primjene     Primjene     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE