×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Svojstva limesa     Limes     Limes u beskonačnosti

Limes slijeva i zdesna

Kada nezavisna varijabla $x$ teži k $x_0$ slijeva ili zdesna, limesi ne moraju biti jednaki.

Vrijednost $a$ je limes slijeva funkcije $f$ u točki $x_0$ , odnosno

$$\lim_{x\to x_0-0}f(x)=a,$$

ako

$$(\forall \varepsilon >0) \ (\exists \delta > 0) \quad x\in \mathc... ...cap (x_0-\delta,x_0) \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-a\vert < \varepsilon .$$

Slično, vrijednost $a$ je limes zdesna funkcije $f$ u točki $x_0$ , odnosno

$$\lim_{x\to x_0+0}f(x)=a,$$

ako

$$(\forall \varepsilon >0) \ (\exists \delta > 0) \quad x\in \mathc... ...cap (x_0,x_0+\delta) \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-a\vert < \varepsilon .$$

Napomena 4.3   Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za limese s lijeva i zdesna.

Primjer 4.7   Funkcija predznak ili signum definirana je na sljedeći način:

$$\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits :\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}, \qquad \mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x)= \frac{x}{\vert x\vert}.$$

Često se po dogovoru uzima $\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (0)=1$ (vidi sliku 4.10). Odredimo limese slijeva i zdesna u točki $x_0=0$ : za $x>0$ vrijedi $\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x)=x/x=1$ pa je

$$\lim_{x\to x_0+0}\frac{x}{\vert x\vert}=1.$$

Za $x<0$ vrijedi $\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x)=x/(-x)=-1$ pa je

$$\lim_{x\to x_0-0}\frac{x}{\vert x\vert}=-1.$$

Iz slike 4.10 vidimo da za svaki $\varepsilon >0$ možemo uzeti bilo koji $\delta>0$ .

Slika 4.10: Funkcija $\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x)$

Svojstva limesa     Limes     Limes u beskonačnosti