×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Limes slijeva i zdesna     Limes     Beskonačan limes

Limes u beskonačnosti

Ako je područje definicije $\mathcal{D}$ neograničene s jedne ili s obje strane, zanima nas postoji li limes funkcije kada nezavisna varijabla $x$ teži k $-\infty$ ili $+\infty$ .

Vrijednost $a$ je limes funkcije $f$ kada $x\to +\infty$ (limes u desnom kraju), odnosno

$$\lim_{x\to +\infty}f(x)=a,$$

ako

$$(\forall \varepsilon >0) \ (\exists M > 0) \quad x\in \mathcal{D}\ \wedge \ x > M \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-a\vert < \varepsilon .$$

Slično, vrijednost $a$ je limes funkcije $f$ kada $x\to -\infty$ ( limes u lijevom kraju), odnosno

$$\lim_{x\to -\infty}f(x)=a,$$

ako

$$(\forall \varepsilon >0) \ (\exists M < 0) \quad x\in \mathcal{D}\ \wedge \ x < M \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-a\vert < \varepsilon .$$

Napomena 4.4   Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za limese u beskonačnosti.

Primjer 4.8  

a)

Kako je funkcija sinus omeđena, $\vert\sin x\vert\leq 1$ , vrijedi (vidi sliku 4.11)

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x}=0, \qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{\sin x}{x}=0.$$

b)

Funkcija $f(x)=1/x$ očito teži k nuli kada $x\to +\infty$ i kada $x\to -\infty$ . Za razliku od prvog primjera, ovdje možemo čak odrediti da li $f(x)\to 0$ s gornje ili donje strane (vidi sliku 4.12):

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0_+, \qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0_-.$$

Slika 4.11: Funkcija $\sin x/x$

Slika 4.12: Funkcija $1/x$

Limes slijeva i zdesna     Limes     Beskonačan limes