×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Funkcije     Funkcije     Ekvipotencija i beskonačni skupovi

Teorem o inverznoj funkciji

Prvo ćemo definirati neke klase funkcija.

Definicija 1.11   Funkcija $f:X\to Y$ je:

• surjekcija ili preslikavanje na ako je $R_f=Y$ ;
• injekcija ili 1-1 preslikavanje ako $f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'$ za sve $x,x'\in D_f$ ;
• bijekcija ili obostrano jednoznačno preslikavanje ako je surjekcija i injekcija.

Jedan primjer bijekcije je identiteta, odnosno funkcija $i_X:X\to X$ definirana s $i_X(x)=x$ za svaki $x\in X$ .

Teorem 1.1   Funkcija $f:X\to Y$ , gdje je $X=D_{f}$ , je bijekcija ako i samo ako postoji funkcija $g:Y\to X$ takva da je $g\circ f=i_X$ i $f\circ g=i_Y$ , gdje su $i_X$ i $i_Y$ odgovarajuće identitete. Funkcija $g$ je jedinstvena, a zove se inverzna funkcija funkcije $f$ i označava s $f^{-1}$ .

Dokaz.

Potrebno je dokazati oba smjera tvrdnje teorema. Neka je $f$ bijekcija. Potrebno je konstruirati funkciju $g$ s traženim svojstvima. Definicija 1.11 povlači

$$% (\forall y\in Y) (\exists! x\in X)\quad \textrm{takav da je}\quad y=f(x).$$

Stoga možemo definirati funkciju $g:Y\to X$ pravilom

$$% g(y)=x \quad \textrm{čim je} \quad y=f(x).$$

Za svaki $x\in X$ vrijedi $g(f(x))=g(y)=x$ pa je $g\circ f=i_X$ . Slično, za svaki $y\in Y$ vrijedi $f(g(y))=f(x)=y$ pa je $f\circ g=i_Y$ i prvi smjer je dokazan.

Dokažimo drugi smjer tvrdnje teorema. Neka postoji funkcija $g$ s traženim svojstvima. Potrebno je pokazati da je $f$ bijekcija. Odaberimo proizvoljni $y\in Y$ . Neka je $x=g(y)$ . Svojstva funkcije $g$ povlače

$$% f(x)=f(g(y))=(f\circ g)(y)=i_Y(y)=y.$$

Zaključujemo da je svaki element $y\in Y$ slika nekog elementa $x\in X$ pa je $f$ surjekcija. Dokažimo da je $f$ injekcija. Zaista, ako je $f(x)=f(x')$ , tada je

$$% x=i_X(x)=g(f(x))=g(f(x'))=i_X(x')=x'.$$

Dakle, $f$ je bijekcija te smo dokazali i drugi smjer tvrdnje teorema.

Na kraju dokažimo jedinstvenost funkcije $g$ . Pretpostavimo da postoje dvije funkcije s traženim svojstvima, $g$ i $g_1$ . Za svaki $y\in Y$ vrijedi

$$% g(y)=x=i_X(g(y))=(g_1\circ f)(g(y))=g_1(f(g(y)))=g_1(i_Y(y))=g_1(y)$$

pa je $g=g_1$ prema definiciji 1.8.     

Q.E.D.

Funkcije     Funkcije     Ekvipotencija i beskonačni skupovi