Polinomi i racionalne funkcije

☰ matematika1

Klasifikacija elementarnih funkcija Pregled elementarnih funkcija Hiperbolne i area funkcije

Polinomi i racionalne funkcije

Polinom -tog stupnja je funkcija

$\displaystyle p_n(x)=a_nx^n+a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 =\sum_{i=0}^{n} a_i x^i,$

pri čemu su koeficijenti

realni brojevi i vrijedi $a_n\neq 0$ . Napomenimo da je prirodno definirati i polinome čiji su koeficijenti kompleksni brojevi. Takvi polinomi se razmatraju u Matematici 3.

Za polinome vrijedi sljedeći važan teorem kojeg navodimo bez dokaza, a koji slijedi iz poznatog Osnovnog teorema algebre.

Teorem 4.9 Svaki polinom

-tog stupnja

ima točno

kompleksnih nul-točaka

za koje vrijedi $p_n(z_i)=0, \ i=1,2,\ldots,n$ . Drugim riječima,

se dade rastaviti kao

$\displaystyle p_n(x)=a_nx^n+ \cdots + a_1 x + a_0 = a_n(x-z_1)(x-z_2)\cdots (x-z_n).$

Nadalje, strogo kompleksne nul-točke (one za koje je $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z_i\neq 0$ ) se uvijek javljaju u konjugirano kompleksnim parovima, odnosno

$\displaystyle p_n(z_i)=0 \quad \Leftrightarrow \quad p_n(\bar z_i)=0.$

Primijetimo da u iskazu teorema nul-točke ne moraju biti međusobno različite. Ako je neki broj nul-točka koja se u gornjem rastavu pojavljuje puta, tada kažemo da je -terostruka nul-točka polinoma ili nul-točka kratnosti .

Zadnja tvrdnja teorema također ima zanimljive posljedice. Tako polinom drugog stupnja može imati samo ili dvije realne ili dvije konjugirano kompleksne nul-točke, a ne može imati jednu realnu i jednu strogo kompleksnu nul-točku. Na primjer,

$\displaystyle 2x^2-x-1$	$\displaystyle =2(x-1)\big(x+\frac{1}{2}\big),$
$\displaystyle x^2+x+1$	$\displaystyle =\bigg(x-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\bigg) \bigg(x-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\bigg)$
	$\displaystyle = \bigg(x+\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg) \bigg(x+\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg).$

Slično, polinom trećeg stupnja može imati ili tri ili jednu realnu nul-točku, a polinom četvrtog stupnja može imati ili četiri ili dvije ili nijednu realnu nul-točku.

Zadatak 4.13 Nacrtajte nekoliko polinoma različitih stupnjeva pomoću programa NetPlot i opišite njihovo ponašanje.

Racionalna funkcija je kvocijent dvaju polinoma,

$\displaystyle r(x)=\frac{p_n(x)}{q_m(x)}.$

Očito vrijedi

$\displaystyle r:\mathbb{R}\setminus \{ x\in\mathbb{R}: q_m(x)= 0\} \to \mathbb{R}.$

U točkama prekida racionalna funkcija ima ili vertikalu asimptotu s obje strane ili uklonjivi prekid.

Ako je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika, , tada kažemo da je prava racionalna funkcija. Ako je $n\geq m$ , tada možemo podijeliti polinom s polinomom , odnosno vrijedi