Hiperbolne i area funkcije

Hiperbolne funkcije definiramo pomoću eksponencijalne funkcije

(poglavlje 4.6.3). Hiperbolne funkcije su zanimljive jer su rješenja mnogih problema u fizici i tehnici izražena pomoću njih. Veze između hiperbolnih funkcija slične su vezama između trigonometrijskih funkcija.

**Slika 4.39:** Sinus hiperbolni i kosinus hiperbolni
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/cship.eps,width=7.2cm} \end{center}\end{figure}$

Vidimo da je sinus hiperbolni neparna, a kosinus hiperbolni parna funkcija te da je sinus hiperbolni strogo rastuća funkcija. Kosinus hiperbolni se još zove i lančanica, jer lanac obješen o dvije točke u gravitacijskom polju zauzme oblik dijela te krivulje. Za funkcije $\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x$ i $\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x$ vrijedi

	$\displaystyle \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2 x-\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits ^2 x=1$
	$\displaystyle \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits 2x=\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits ^2 x+\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2 x$	(4.11)
	$\displaystyle \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits 2x =2\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x.$

Zadatak 4.14 Dokažite svojstva (4.11). Usporedite ta svojstva s trigonometrijskim identitetom (4.9) i adicionim teoremima (A3) i (A6). Opišite sličnosti i razlike?

Slično kao kod trigonometrijskih funkcija, tangens hiperbolni definiramo kao kvocijent sinusa i kosinusa, a kotangens hiperbolni kao kvocijent kosinusa i sinusa, odnosno

	$\displaystyle \mathop{\mathrm{th}}\nolimits x=\frac{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimi... ...{ch}}\nolimits x}, \qquad \mathop{\mathrm{th}}\nolimits : \mathbb{R}\to (-1,1),$
	$\displaystyle \mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x=\frac{\mathop{\mathrm{ch}}\nolim... ...m{cth}}\nolimits : \mathbb{R}\setminus \{0\} \to (-\infty,-1) \cup (1,+\infty).$

Funkcije $\mathop{\mathrm{th}}\nolimits x$ i $\mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x$ prikazane su na slici 4.40. Funkcija $\mathop{\mathrm{th}}\nolimits x$ je neparna, strogo rastuća i neprekidna te ima horizontalne asimptote

i lijevom i

u desnom kraju. Funkcija $\mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x$ je neparna, strogo padajuća i ima prekid druge vrste u točki

. Njene horizontalne asimptote su također pravci

i lijevom i

u desnom kraju, a pravac

je vertikalna asimptota s obje strane.

**Slika 4.40:** Tangens hiperbolni i kotangens hiperbolni
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/thhip.eps,width=8.4cm} \end{center}\end{figure}$

Zadatak 4.15 Koristeći svojstva funkcije

izračunajte limese

	$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \mathop{\mathrm{th}}\nolimits x, \qquad \lim_{x\to +\infty} \mathop{\mathrm{th}}\nolimits x,$
	$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x, \qquad \lim_{x\to +\infty} \mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x,$
	$\displaystyle \lim_{x\to 0-0} \mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x, \qquad \lim_{x\to 0+0} \mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x.$

Area funkcije su inverzne funkcije hiperbolnih funkcija. Primijetimo da su sve hiperbolne funkcije bijekcije, osim $\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x$ pa za kosinus hiperbolni inverznu funkciju definiramo za restrikciju $\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits \mid_{[0,+\infty)}$ . Funkcije area sinus hiperbolni, area kosinus hiperbolni, area tangens hiperbolni i area kotangens hiperbolni definirane su redom na sljedeći način:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{arsh}}\nolimits x=$	$\displaystyle \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits ^{-1} x = \ln (x+\sqrt{x^2+1}),$
	$\displaystyle \mathop{\mathrm{arsh}}\nolimits :\mathbb{R}\to \mathbb{R},$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{arch}}\nolimits x=$	$\displaystyle \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^{-1} x = \ln (x+\sqrt{x^2-1}),$
	$\displaystyle \mathop{\mathrm{arch}}\nolimits :[1,+\infty)\to [0,+\infty),$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{arth}}\nolimits x=$	$\displaystyle \mathop{\mathrm{th}}\nolimits ^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{1+x}{1-x},$	(4.12)
	$\displaystyle \mathop{\mathrm{arth}}\nolimits :(-1,1)\to \mathbb{R},$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{arcth}}\nolimits x=$	$\displaystyle \mathop{\mathrm{cth}}\nolimits ^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1},$
	$\displaystyle \mathop{\mathrm{arcth}}\nolimits :(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)\to \mathbb{R}\setminus\{0\}.$

Area funkcije se ponekad označavaju i s velikim početnim slovom kao na primjer $\mathop{\mathrm{Arsh}}\nolimits x$ . Funkcije $\mathop{\mathrm{arsh}}\nolimits x$ i $\mathop{\mathrm{arch}}\nolimits x$ prikazane su na slici 4.41, a funkcije $\mathop{\mathrm{arth}}\nolimits x$ i $\mathop{\mathrm{arcth}}\nolimits x$ na slici 4.42.

**Slika 4.41:** Area sinus hiperbolni i area kosinus hiperbolni
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/arsh.eps,width=10.8cm} \end{center}\end{figure}$

**Slika 4.42:** Area tangens hiperbolni i area kotangens hiperbolni
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/arth.eps,width=10.8cm} \end{center}\end{figure}$

Zadatak 4.16

a)

Dokažite da su formule za area funkcije te njihove domene i kodomene zaista dane s odgovarajućim izrazima u (4.12).

b)

Koje su horizontalne i vertikalne asimptote funkcija $\mathop{\mathrm{arth}}\nolimits x$ i $\mathop{\mathrm{arcth}}\nolimits x$ (vidi sliku 4.42)? Dokažite da su to asimptote tako što ćete izračunati odgovarajuće limese.

c)

Nacrtajte funkcije

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits (\mathop{\mathrm{arsh}}\nolimits x),$	$\displaystyle \qquad f(x)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{arsh}}\nolimits (\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x),$
$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits (\mathop{\mathrm{arch}}\nolimits x),$	$\displaystyle \qquad f(x)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{arch}}\nolimits (\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x),$
$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{th}}\nolimits (\mathop{\mathrm{arth}}\nolimits x),$	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{arth}}\nolimits (\mathop{\mathrm{th}}\nolimits x),$
$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{cth}}\nolimits (\mathop{\mathrm{arcth}}\nolimits x),$	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{arcth}}\nolimits (\mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x).$