×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 DERIVACIJE I PRIMJENE     DERIVACIJE I PRIMJENE     Deriviranje kompozicije funkcija

Pravila deriviranja

Odredite derivaciju funkcije $f$ zadane s:

a)

$f(x)=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt{x\sqrt{x}}+\sqrt[7]{e}$ ,

b)

$f(x)=\sin x \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x$ ,

c)

$f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}$ ,

d)

$f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x^3}+e^x\cos x-(x^3+2)\log x$ .

Rješenje.

a)

Zapišimo prva dva izraza u obliku potencije. Vrijedi

$$\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}} \quad\textrm{ i }\quad \sqrt{x\sqrt{x}}=\sqrt{x}\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{3}{4}}.$$

Primijetimo da je $\sqrt[7]{e}$ konstanta. Prema pravilu za deriviranje sume iz [M1, teorem 5.2] te formulama za deriviranje potencije i konstantne funkcije iz [M1, poglavlje 5.1.5] dobivamo

$$f'(x) =\left(x^{\frac{2}{3}} -x^{\frac{3}{4}}+\sqrt[7]{e}\right)' =\left(x^{\frac{2}{3}}\right)' -\left(x^{\frac{3}{4}}\right)'+\left(\sqrt[7]{e}\right)'$$

$$=\frac{2}{3}\,x^{\frac{2}{3}-1}-\frac{3}{4}\,x^{\frac{3}{4}-1}+0 ... ...}-\frac{3}{4}\,x^{-\frac{1}{4}} =\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}.$$

b)

Prema pravilu za deriviranje produkta iz [M1, teorem 5.2] i formulama za deriviranje trigonometrijskih i arkus funkcija iz [M1, poglavlje 5.1.5] slijedi

$$f'(x) =(\sin x \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x)'=\left(\sin x\right)... ...thrm{arctg}}\nolimits x+\sin x \left(\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x\right)'$$

$$=\cos x \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x +\sin x\,\frac{1}{1+x^2}.$$

c)

Prema pravilu za deriviranje kvocijenta iz [M1, teorem 5.2] i pravilima za deriviranje trigonometrijskih funkcija imamo

$$f'(x) =\left(\frac{\cos x}{1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}\right)' =... ...hrm{tg}}\nolimits x\right)'} {\left(1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x\right)^2}$$

$$=\frac{\displaystyle-\sin x\left(1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ... ...}-\frac{1}{\cos x}} {\displaystyle\frac{\left(\sin x+\cos x\right)^2}{\cos^2x}}$$

$$=\frac{\displaystyle\frac{-\sin x\cos x-\sin^2x-1}{\cos x}} {\dis... ...\cos^2x}} =\frac{-\cos x \left(\sin x\cos x+\sin^2x+1\right)}{1+2\sin x\cos x}.$$

d)

Primjenom pravila deriviranja iz [M1, teorem 5.2] dobivamo

$$f^\prime(x) =\left(\frac{\sin x}{x^3}+e^x\cos x-(x^3+2)\log x\right)'$$

$$=\left(\frac{\sin x}{x^3}\right)^\prime +\left(e^x\cos x\right)^\prime - \left[\left(x^3+2\right)\log x\right]^\prime$$

$$=\frac{(\sin x)' x^3-\sin x \,(x^3)'}{x^6}+(e^x)'\cos x+e^x(\cos x)'$$

$$\qquad - [(x^3+2)'\log x+(x^3+2)(\log x)']$$

$$=\frac{\cos x\cdot x^3-\sin x\cdot 3x^2}{x^6}+e^x\cos x-e^x\sin x-3x^2\log x-\left(x^3+2\right)\, \frac{1}{x}\log e.$$

DERIVACIJE I PRIMJENE     DERIVACIJE I PRIMJENE     Deriviranje kompozicije funkcija