×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Pravila deriviranja     DERIVACIJE I PRIMJENE     Logaritamsko deriviranje

Deriviranje kompozicije funkcija

Odredite derivaciju funkcije $f$ zadane s:

a)

$f(x)= \left( x^2+2 \right)^3$ ,

b)

$f(t)=\displaystyle \frac{1}{4}\left(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t\right)^4-\frac{1}{2}\left(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t\right)^2-\ln(\cos t)$ ,

c)

$f(x)=\displaystyle\log_{\sqrt e}\frac{1}{\cos^2x}$ ,

d)

$f(x)=\displaystyle \arcsin\frac{x-1}{x}$ ,

e)

$f(x)=\displaystyle \sqrt{4x-1}+\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits \sqrt{4x-1}$ ,

f)

$f(x)=\displaystyle \ln^2 (2x+1)$ ,

g)

$f(x)=\displaystyle\ln\ln (x^4+x)$ ,

h)

$f(x)=\displaystyle 2^{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \sqrt{x}}$ .

Rješenje.

a)

Uz oznake $h(x)=x^3$ i $g(x)=x^2+2$ je $f(x)=h(g(x))$ pa pravilo za derivaciju kompozicije funkcija iz [M1, teorem 5.4] daje

$$f'(x)=[h(g(x))]'=h'(g(x))\cdot g'(x).$$

Budući je $h'(x)=3x^2$ i $g'(x)=2x$ imamo

$$f'(x)=h'(x^2+2)\cdot 2x=3(x^2+2)^2\cdot 2x.$$

Dakle,

$$f'(x)=\left[\left( x^2+2 \right)^3\right]'=3(x^2+2)^2\cdot 2x=6x(x^2+2).$$

b)

Vrijedi

$$f'(t) =\left[\frac{1}{4}\left(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t\right)^4\... ...left(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t\right)^2\right]'-\left[\ln(\cos t)\right]'$$

$$=\frac{1}{4}\left[\left(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t\right)^4\... ...eft(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t\right)^2\right]'-\left[\ln(\cos t)\right]'.$$

Primjenom pravila za deriviranje kompozicije slijedi

$$f'(x) =\frac{1}{4} \cdot 4\left(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t\right)^... ...imits t \cdot(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t)'-\frac{1}{\cos t} \cdot(\cos t)'$$

$$=\frac{1}{4} \cdot 4\left(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t\right)^... ...\mathrm{tg}}\nolimits t \cdot\frac{1}{\cos^2 t}-\frac{1}{\cos t} \cdot(-\sin t)$$

$$=\frac{\sin^3 t}{\cos^5 t}-\frac{\sin t}{\cos^3 t}+\frac{\sin t}{\cos t}.$$

c)

Iz svojstava logaritamske funkcije slijedi

$$f(x)=\log_{\sqrt e}\frac{1}{\cos^2x} =\log_{e^{\frac{1}{2}}}{\lef... ...ight)^{-2}} =2\cdot(-2)\log_{e}{\left(\cos x\right)} =-4\ln\left(\cos x\right).$$

Primjenom pravila za deriviranje kompozicije funkcija dobivamo

$$f'(x)=-4\left[\ln\left(\cos x\right)\right]'=-4\, \frac{1}{\cos x... ...4\, \frac{1}{\cos x}\cdot\left(-\sin x\right)=4\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x.$$

d)

Pravilo za deriviranje potencije iz [M1, poglavlje 5.1.5] daje

$$\left(\frac{1}{x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-1\cdot x^{-1-1}=-\frac{1}{x^2}.$$

Primjenom pravila za deriviranje kompozicije funkcija i deriviranje sume dobivamo

$$f'(x) =\left(\arcsin\frac{x-1}{x}\right)' =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{x-1}{x}\right)^2}}\cdot \left(\frac{x-1}{x}\right)'$$

$$=\frac{1}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{x^2-2x+1}{x^2}}}\cdot \left(... ...displaystyle\frac{2x-1}{x^2}}}\cdot \left[(1)'-\left(\frac{1}{x}\right)'\right]$$

$$=\frac{\vert x\vert}{\sqrt{2x-1}}\cdot\left[0-\left(-\frac{1}{x^2}\right)\right] =\frac{\vert x\vert}{x^2\sqrt{2x-1}}.$$

e)

Prema pravilu za deriviranje potencije je

$$\left(\sqrt{x}\right)'=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)' =\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{2\sqrt{x}},$$ (5.1)

a pravilo za deriviranje kompozicije funkcija daje

$$\left(\sqrt{4x-1}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{4x-1}}\cdot(4x-1)' =\frac{1}{2\sqrt{4x-1}}\cdot4=\frac{2}{\sqrt{4x-1}}.$$

Primjenom pravila za deriviranje sume, pravila za deriviranje kompozicije funkcija i uvrštavanjem prethodnog rezultata dobivamo

$$f'(x) =\left(\sqrt{4x-1}\right)'+\left(\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits \sqrt{4x-1}\right)'$$

$$=\left(\sqrt{4x-1}\right)'-\frac{1}{1+\left(\sqrt{4x-1}\right)^2}\cdot\left(\sqrt{4x-1}\right)'$$

$$=\frac{2}{\sqrt{4x-1}}-\frac{1}{4x}\cdot\frac{2}{\sqrt{4x-1}}$$

$$=\frac{2}{\sqrt{4x-1}}\left(1-\frac{1}{4x}\right)=\frac{4x-1}{2x\sqrt{4x-1}}.$$

f)

Primjenom pravila za deriviranje kompozicije funkcija i deriviranje sume dobivamo

$$f'(x) =\left[\ln^2 (2x+1)\right]'=2 \ln (2x+1)\cdot \left[\ln (2x+1)\right]'$$

$$=2 \ln (2x+1)\cdot \frac{1}{2x+1}\cdot(2x+1)'$$

$$=2 \ln (2x+1)\cdot \frac{1}{2x+1}\cdot 2=\frac{4\ln (2x+1)}{2x+1}.$$

g)

Dvostrukom primjenom pravila za deriviranje kompozicije funkcija i pravila za deriviranje sume dobivamo

$$f'(x) =\left[\ln\ln (x^4+x)\right]' =\frac{1}{\ln (x^4+x)}\cdot\left[\ln (x^4+x)\right]'$$

$$=\frac{1}{\ln (x^4+x)}\cdot\frac{1}{x^4+x}\cdot(x^4+x)'$$

$$=\frac{1}{\ln \left(x^4+x\right)}\cdot\frac{1}{x^4+x}\cdot\left(4x^3+1\right)$$

$$=\frac{4x^3+1}{x\left(x^3+1\right)\ln\left(x^4+x\right)}.$$

h)

Pravilo za deriviranje kompozicije funkcija, formula za deriviranje eksponencijalne funkcije iz [M1, poglavlje 5.1.5] i formula (5.1) daju

$$f'(x) =\left(2^{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \sqrt{x}}\right)' =2^{... ...imits \sqrt{x}}\ln2\cdot\left(\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \sqrt{x}\right)'$$

$$=2^{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \sqrt{x}}\ln2\cdot\frac{1}{1+\left(\sqrt{x}\right)^2}\cdot\left(\sqrt{x}\right)'$$

$$=2^{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \sqrt{x}}\ln2\cdot\frac{1}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Pravila deriviranja     DERIVACIJE I PRIMJENE     Logaritamsko deriviranje