Deriviranje parametarski zadane funkcije

Odredite prvu i drugu derivaciju funkcije parametarski zadane s

$\displaystyle x(t)$	$\displaystyle =t-\sin t,$
$\displaystyle y(t)$	$\displaystyle =1-\cos t.$

Rješenje. Iz

$\displaystyle \dot x=1-\cos t \quad\textrm{ i }\quad$	$\displaystyle \ddot x=\sin t,$
$\displaystyle \dot y=\sin t \quad\textrm{ i }\quad$	$\displaystyle \ddot y=\cos t,$

prema formulama iz

[M1, poglavlje 5.4], slijedi da je prva derivacija jednaka

$\displaystyle y'=\frac{\dot y}{\dot x}=\frac{\sin t }{1-\cos t},$

dok je druga derivacija

$\displaystyle y''=\frac{\ddot y \dot x-\dot y \ddot x}{\dot x^3} =\frac{\cos t ... ...\sin t}{(1-\cos t)^3 } =\frac{\cos t-1}{(1-\cos t)^3 }=-\frac{1}{(\cos t-1)^2}.$