×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Deriviranje parametarski zadane funkcije     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tangenta na graf parametarski

Tangenta na graf eksplicitno zadane funkcije

Odredite jednadžbu tangente i normale na graf funkcije $f$ zadane s

$$f(x)=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits e^{2x}+\ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{2e^{2x}-1}}$$

u točki $x_0=0$ .

Rješenje. Zbog svojstava logaritamske funkcije je

$$\ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{2e^{2x}-1}}=\ln\left(\frac{e^{2x}}{2e^{2x}... ...ac{e^{2x}}{2e^{2x}-1} \right)=\frac{1}{2}\left[\ln e^{2x}-\ln(2e^{2x}-1)\right]$$

pa je

$$f(x)=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits e^{2x} + x-\frac{1}{2}\ln\left(2e^{2x}-1\right).$$

Izračunajmo derivaciju funkcije $f$ . Vrijedi

$$f'(x)=\frac{1}{1+(e^{2x})^2} \cdot e^{2x}\cdot 2+1-\frac{1}{2}\cd... ...dot2\cdot e^{2x}\cdot 2 = \frac{2e^{2x}}{1+e^{4x}}+1-\frac{2e^{2x}}{2e^{2x}-1}.$$

Koeficijent smjera $k$ tangente na graf funkcije $f$ u točki $x_0=0$ je jednak

$$k=f'(x_0)=\frac{2e^0}{1+e^0}+1-\frac{2e^0}{2e^0-1}=0.$$

Vrijednost funkcije $f$ u točki $x_0=0$ iznosi

$$f(x_0)=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits 1+0-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{\pi}{4}.$$

Budući da tangenta prolazi diralištem $D(x_0,f(x_0))$ , jednadžba tangente glasi

$$y-f(x_0)=k(x-x_0),$$

odakle uvrštavanjem dobivamo

$$y-\frac{\pi}{4} =0(x-0),$$

$$y =\frac{\pi}{4}.$$

Vidimo da je dobivena tangenta paralelne a $x$ -osi pa je normala na graf funkcije $f$ u točki $x_0=0$ pravac okomit na $x$ -os koji prolazi diralištem $D(x_0,f(x_0))$ čija jednadžba glasi $x=x_0$ , odnosno $x=0$ .

Deriviranje parametarski zadane funkcije     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tangenta na graf parametarski