Tangenta na graf parametarski zadane funkcije

Odredite jednadžbu tangente i normale na graf funkcije parametarski zadane s

$\displaystyle x(t)$	$\displaystyle = \ln(\cos t +1),$
$\displaystyle y(t)$	$\displaystyle = \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t+\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits t$

u točki zadanoj s $t=\frac{\pi}{4}$ .

Rješenje. Diralište kroz koje prolazi tražena tangenta ima koordinate

$\displaystyle x_0$	$\displaystyle = \ln\left(\cos \frac{\pi}{4}+1\right)= \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right),$
$\displaystyle y_0$	$\displaystyle = \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\pi}{4}+\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits \frac{\pi}{4}=2.$

Prema formuli iz

[M1, poglavlje 5.4] je derivacija funkcije jednaka

$\displaystyle y'(x)= \frac{\dot x}{\dot y}=\frac{\displaystyle\frac{1}{\cos^2 t... ...s t+1}} =-\frac{\left(\sin^2 t-\cos^2 t\right)(\cos t+1)}{\sin^3 t\, \cos^2 t}.$

Koeficijent smjera

, koji dobivamo uvrštavanjem $t=\frac{\pi}{4}$ , iznosi

$\displaystyle k=y' \left(x_0\right)=-\frac{\left[\left(\frac{\sqrt{2}} {2}\righ... ...ght)} {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} =0.$

Stoga jednadžba tangente na graf funkcije

u zadanoj točki glasi

, a normale $x=\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$ .

Tangenta na graf eksplicitno DERIVACIJE I PRIMJENE Kut između tangenti