×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Točke infleksije     DERIVACIJE I PRIMJENE     Geometrijski ekstrem I

Točke infleksije i intervali zakrivljenosti

Odredite intervale konveksnosti, konkavnosti i točke infleksije funkcije

$$f(x)=e^{-x^2}.$$

Rješenje. Intervale konveksnosti i konkavnosti odredit ćemo pomoću [M1, teorem 5.15]. Iz

$$f'(x)=-2xe^{-x^2}$$

dobivamo

$$f''(x)=2\left(2x^2-1\right) e^{-x^2}.$$

Iz $f''(x)=0$ slijedi

$$2x^2-1=0.$$

jer je $2e^{-x^2} \neq 0$ , za svaki $x\in \mathbb{R}$ . Rješenja ove jednadžbe su

$$x_1=-\frac{\sqrt2}{2} \qquad x_2=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Štoviše, zbog $2e^{-x^2} > 0$ je nejednadžba $f''(x)>0$ ekvivalentna s $2x^2-1>0$ . Dakle, za $\vert x\vert>\frac{1}{\sqrt{2}}$ vrijedi $f''(x)>0$ , pa je funkcija $f$ strogo konveksna na skupu $\langle-\infty,-\frac{\sqrt 2}{2}\rangle\cup\langle\frac{\sqrt 2}{2},+\infty \rangle$ , dok za $\vert x\vert<\frac{1}{\sqrt{2}}$ vrijedi $f''(x)<0$ , pa je funkcija $f$ strogo konkavna na intervalu $\langle-\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 2}{2}\rangle$ . Budući je

$$f\left(-\frac{\sqrt 2}{2}\right)=\frac{\sqrt e}{e}$$   i$$\quad f\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)=\frac{\sqrt e}{e},$$

prema [M1, teorem 5.16], točke infleksije zadane funkcije su

$$T_1\left(-\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt e}{e}\right) \quad T_2\left(\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt e}{e}\right).$$

Točke infleksije     DERIVACIJE I PRIMJENE     Geometrijski ekstrem I