×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Geometrijski ekstrem     DERIVACIJE I PRIMJENE     Ispitivanje toka funkcije

Zakrivljenost

U ovom poglavlju opisat ćemo postupak za ispitivanje zakrivljenosti funkcije, pri čemu važnu ulogu ima druga derivacija zadane funkcije.

Definicija 5.7   Funkcija $f$ je konveksna na intervalu $(a,b)\subseteq \mathcal{D}$ ako za proizvoljne točke $x_1,x_2\in (a,b)$ takve da je $x_1\neq x_2$ vrijedi

$$f(t\, x_1+(1-t)\, x_2)\leq t\, f(x_1)+(1-t)\, f(x_2), \qquad t\in(0,1).$$

Slično, funkcija $f$ je konkavna na intervalu $(a,b)\subseteq \mathcal{D}$ ako za proizvoljne točke $x_1,x_2\in (a,b)$ takve da je $x_1\neq x_2$ vrijedi

$$f(t\, x_1+(1-t)\, x_2)\geq t\, f(x_1)+(1-t)\, f(x_2), \qquad t\in(0,1).$$

U slučaju strogih nejednakosti, funkcija $f$ je strogo konveksna odnosno strogo konkavna.

Strogo konveksna funkcija prikazana je na slici 5.12. Na istoj slici je prikazano i geometrijsko značenje definicije 5.7. Funkcija prikazana na slici 5.13 a) je konkavna, ali ne i strogo konkavna, dok je funkcija na slici 5.13 b) istovremeno i konveksna i konkavna.

Slika 5.12: Strogo konveksna funkcija

Slika 5.13: Konkavna i konveksna funkcija

Napomena 5.2   Za graf konveksne funkcije vrijedi sljedeće:

a)

graf zakreće na gore na intervalu $(a,b)$ ;

b)

u svakoj točki $x\in(a,b)$ graf se nalazi iznad tangente u toj točki (vidi sliku 5.12);

c)

za proizvoljne točke $x_1,x_2\in (a,b)$ takve da je $x_1<x_2$ , graf restrikcije $f\mid_{[x_1,x_2]}$ nalazi se ispod spojnice točaka $(x_1,f(x_1))$ i $(x_2,f(x_2)$ (vidi sliku 5.12);

d)

ako je funkcija $f$ derivabilna na intervalu $(a,b)$ , tada je $f$ (strogo) konveksna na intervalu $(a,b)$ ako i samo ako je derivacija $f'$ (strogo) rastuća na intervalu $(a,b)$ .

Zadatak 5.4   Kako glase tvrdnje analogne onima iz napomene 5.2 za konkavne funkcije?

Teorem 5.15   [Dovoljan uvjet zakrivljenosti] Neka je funkcija $f$ dva puta derivabilna na intervalu $(a,b)$ . Ako je $f''(x)>0$ za svaki $x\in(a,b)$ , tada je funkcija $f$ strogo konveksna na intervalu $(a,b)$ . Ako je $f''(x)<0$ za svaki $x\in(a,b)$ , tada je funkcija $f$ strogo konkavna na intervalu $(a,b)$ .

Dokaz.

Kako $f''$ postoji na intervalu $(a,b)$ , to po definiciji derivacije na tom intervalu postoji i prva derivacija $f'$ . Dokažimo prvu tvrdnju teorema. Ako je $f''(x)>0$ za svaki $x\in(a,b)$ , tada je po teoremu 5.11 prva derivacija $f'$ strogo rastuća na tom intervalu pa je funkcija $f$ konveksna po napomeni 5.2 d). Dokaz druge tvrdnje je sličan.     

Q.E.D.

Ovaj teorem daje samo dovoljan, ali ne i nužan uvjet zakrivljenosti. Na primjer, funkcija $f(x)=x^4$ je konveksna na čitavom skupu $\mathbb{R}$ , ali je $f''(0)=0$ .

U proučavanju funkcija zanimaju nas točke u kojima se zakrivljenost mijenja.

Definicija 5.8   Glatka funkcija $f$ ima infleksiju u točki $c$ ako postoji $\varepsilon$ -okolina točke $c$ , $(c-\varepsilon , c+\varepsilon )\in \mathcal{D}$ , takva da je $f$ strogo konveksna na intervalu $(c-\varepsilon ,c)$ i strogo konkavna na intervalu $(c,c+\varepsilon )$ ili obrnuto. Točka $(c,f(c))$ je točka infleksije grafa funkcije $f$ .

Teorem 5.16   [Nužan uvjet za postojanje infleksije]Ako funkcija $f$ ima infleksiju u točki $c$ i ako $f''(c)$ postoji, tada je $f''(c)=0$ .

Dokaz.

Kako $f''(c)$ postoji, definicija derivacije 5.1 povlači da prva derivacija $f'$ postoji u nekoj okolini točke $c$ . Također, kako je $f'$ derivabilna u točki $c$ , to je i neprekidna u točki $c$ . Neka funkcija $f$ ima infleksiju u točki $c$ i to tako da je, na primjer, strogo konveksna lijevo od točke $c$ i strogo konkavna desno od točke $c$ . To po napomeni 5.2 d) znači da je $f'$ strogo rastuća lijevo od točke $c$ i strogo padajuća desno od točke $c$ , odnosno $f'$ ima lokalni maksimum u točki $c$ . No tada je $f''(c)=0$ po teoremu 5.12.     

Q.E.D.

Prethodni teorem daje samo nužan, ali ne i dovoljan uvjet za postojanje infleksije. Na primjer, za funkcije $f(x)=x^3$ i $f(x)=x^4$ vrijedi $f''(0)=0$ , a samo prva funkcija ima infleksiju u točki $x=0$ , dok druga nema.

Teorem 5.17   [Dovoljan uvjet za postojanje infleksije] Neka je funkcija dva puta derivabilna na nekoj $\varepsilon$ -okolini točke $c$ , osim možda u točki $c$ . Ako $f''$ mijenja predznak u točki $c$ , tada funkcija $f$ ima infleksiju u točki $c$ .

Dokaz.

Neka $f''$ mijenja predznak u točki $c$ . Tada je po teoremu 5.15 funkcija $f$ konveksna lijevo od točke $c$ , a konkavna desno od točke $c$ , ili obrnuto pa stoga ima infleksiju u točki $c$ .     

Q.E.D.

Na primjer, za funkciju $f(x)=\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ vrijedi

$$f''(x)=(-2)\cos^{-3} x (-\sin x), \qquad f''(0)=0.$$

Očito je $f''(x)<0$ za $-\pi/2<x<0$ i $f''(x)>0$ za $0<x<\pi/2$ . Dakle, funkcija $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ je po teoremu 5.15 konkavna za $-\pi/2<x<0$ i konveksna za $0<x<\pi/2$ , pa ima infleksiju u točki $x=0$ .

Konačno, za ispitivanje lokalnih ekstrema i točaka infleksije možemo koristiti i više derivacije. Sljedeći važan teorem navodimo bez dokaza.

Teorem 5.18   Neka funkcija $f$ ima u nekoj $\varepsilon$ -okolini točke $c$ neprekidne derivacije do uključivo reda $n$ , pri čemu je $n\geq 3$ . Neka je

$$f''(c)=f'''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0, \qquad f^{(n)}(c)\neq 0.$$

Ako je $n$ neparan, tada funkcija $f$ ima infleksiju u točki $c$ . Ako je $n$ paran i ako je uz to još i $f'(c)=0$ , tada funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u točki $c$ i to minimum za $f^{(n)}(c)>0$ i maksimum za $f^{(n)}(c)<0$ .

Primjer 5.14  

a)

Za funkciju $f(x)=x^4$ vrijedi $f''(0)=f'''(0)=0$ , $f^{IV}(0)=24\neq 0$ . Kako je $f'(0)=0$ i $f^{IV}(0)>0$ , zadana funkcija ima po teoremu 5.18 lokalni minimum u točki $x=0$ .

b)

Za funkciju $f(x)=x^5$ vrijedi $f''(0)=f'''(0)=f^{IV}(0)=0$ , $f^{V}(0)=120\neq 0$ . Kako je $n=5$ neparan, iz teorema 5.18 slijedi da zadana funkcija ima infleksiju u točki $x=0$ . U ovom slučaju radi se o "horizontalnoj infleksiji", jer je $f'(0)=0$ , odnosno tangenta u točki infleksije je paralelna s $x$ -osi.

c)

Za funkciju $f(x)=\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ vrijedi $f''(0)=0$ , $f'''(0)=2\neq 0$ pa je po teoremu 5.18 točka $x=0$ točka infleksije. U ovom slučaju radi se o "kosoj infleksiji", jer je $f'(0)=1$ , odnosno tangenta u točki infleksije zatvara s $x$ -osi kut od $\pi/4$ .

Zadatak 5.5   Ispitajte područja konveksnosti i konkavnosti te nađite točke infleksije i lokalne ekstreme funkcija $\sin x$ , $\cos x$ , $\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x$ i $\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x$ . Kod točaka infleksije utvrdite da li se radi o horizontalnim ili kosim infleksijama.

Geometrijski ekstrem     DERIVACIJE I PRIMJENE     Ispitivanje toka funkcije