☰ matematika1

Tok funkcije IV DERIVACIJE I PRIMJENE Rješenja

Zadaci za vježbu

1.

Odredite derivaciju funkcije

zadane s:

a): $f(x)=\displaystyle x^2+x^3+\sin x$ ,
b): $f(x)=\displaystyle (x^2-x+1)(x^4+2)$ ,
c): $f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2+1}$ ,
d): $f(x)=\displaystyle\sqrt{x}+\pi$ ,
e): $f(x)=\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}-\frac{1}{n}$ ,
f): $f(x)=\displaystyle\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$ ,
g): $f(x)=\displaystyle \sin x+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ ,
h): $f(x)=\displaystyle \cos x\cdot (1+\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x)$ ,
i): $f(x)=\displaystyle \arcsin x+\arccos x$ ,
j): $f(x)=\displaystyle e^x+2^x+\left(\frac{2}{3}\right)^x$ ,
k): $f(x)=\displaystyle \ln x+\log x$ ,
l): $f(x)=\displaystyle \frac{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x}{x\ln x}+3xe^x$ .

2.

Odredite derivaciju kompozicije funkcija

zadane s:

a): $f(x)=\displaystyle \ln (\sin x)$ ,
b): $f(x)=\displaystyle \sqrt{xe^x}$ ,
c): $f(x)=\displaystyle \sqrt{x^2-e^x}+\arcsin\frac{1}{x}$ ,
d): $f(x)=\displaystyle \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ ,
e): $f(x)=\displaystyle \frac{x^2+\sin 2x}{\ln x+\cos (2x+3)}$ ,
f): $f(x)=\displaystyle e^{-x}+2^{\sin \frac{x}{2}}+\sin ^2x$ ,
g): $f(x)=\displaystyle \ln\left( x-\sqrt{x^2+1}\right)$ ,
h): $f(x)=\displaystyle x\cdot\sqrt{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}$ ,
i): $f(t)=\displaystyle \left( \frac{t-2}{2t+1}\right)^9$ ,
j): $f(x)=\displaystyle \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits (\ln x)+\sqrt{\ln (x^2+1)}$ ,
k): $f(x)=\displaystyle\frac{1}{5^{x^2}}$ ,
l): $f(x)=\displaystyle e^{\sqrt{xe^x}}$ ,
m): $f(x)=\displaystyle\ln {\cos {\frac{x-1}{x}}}$ ,
n): $f(x)=\displaystyle4^{-\log_2 {\sqrt {1-x^2}}}$ ,
o): $f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\ln {\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits {\frac{x}{2}}}- \frac{\cos x}{2\sin^2x}$ ,
p): $f(x)=\displaystyle\ln {\left(\frac{1+\sqrt {\sin x}}{1-\sqrt {\sin x}}\right)}+2\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits {\sqrt {\sin{x}}}$ .

3.

Odredite derivaciju funkcije

zadane s:

a): $f(x)=\displaystyle x^{\sin x}$ ,
b): $f(x)=\displaystyle \frac{(x^2+2x+3)^{15}(2x+5)^{10}}{(5x-9)^{13}}$ ,
c): $f(x)=\displaystyle \ln\sqrt[x]{\sin x}$ ,
d): $f(x)=\displaystyle \frac{\sqrt{(x-2)(x-4)}}{(x+1)(x+3)}$ ,
e): $f(x)=\displaystyle \sqrt[x]{x}$ .

4.

Odredite derivaciju implicitno zadane funkcije:

a): $\displaystyle x^3y+xy^3=e^x$ ,
b): $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2e}$ ,
c): $\displaystyle\left( x^2+y^2\right) y^2=a x^2$ ,
d): $\displaystyle x^3+y^3=3a x y$ ,
e): $\displaystyle e^{x^2+y^2}=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits {\frac{y}{x}}$ .

5.

Izračunajte

-tu derivaciju funkcije

i njenu vrijednost u točki

ako je:

a): $f(x)=\displaystyle x^5 \textrm{ i } x_0=0$ ,
b): $f(x)=\displaystyle \cos x \textrm{ i } x_0=\pi$ ,
c): $f(x)=\displaystyle \ln\frac{1-4x}{1+4x} \textrm{ i } x_0=0$ .

6.

Odredite derivaciju parametarski zadane funkcije:

a): $\displaystyle x(t)=\frac{t(t+1)}{t+2},\quad y(t)=\frac{t^2-4t+1}{t}$ ,
b): $\displaystyle x(t)=\sqrt{\sin 3t},\quad y(t)=\left( \frac{t+3}{t-3}\right)^5$ .

7.

Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju $\displaystyle y=\ln\cos x+1$ u točki s apscisom

8.

Iz točke

povucite tangentu na krivulju $\displaystyle y=\frac{x-1}{x}$ i odredite diralište.

9.

Odredite tangentu na parabolu $\displaystyle y=x^2-7x+3$ paralelnu s pravcem $\displaystyle 5x+y-3=0$ .

10.

Odredite jednadžbu tangente i normale na parabolu $\displaystyle y=2x^2+4x$ u točkama u kojima parabola siječe

-os.

11.

Odredite jednadžbu tangente na krivulju $y=\ln x$ koja prolazi ishodištem.

12.

Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju

u točki s apcisom

13.

Odredite jednadžbu tangente na krivulju $\displaystyle y=\left( \sin ^2x+\frac{1}{2}\right)^{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}$ u točki s apscisom $\displaystyle x_0=\frac{3\pi }{4}$ .

14.

Odredite jednadžbu tangente na krivulju $x\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits y-y=0$ u točki s ordinatom

15.

Odredite jednadžbu tangente na cikloidu $x=t-\sin t$ , $y=1-\cos t$ u točki s $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ .

16.

Primjenom L'Hospitalovog pravila izračunajte sljedeće limese:

a): $\displaystyle \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 5x}$ ,
b): $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\frac{a^{\ln x}-1}{\ln x}$ ,
c): $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sqrt{x+2}-x-\sqrt{2}}$ ,
d): $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\ln (1-\sin x)\cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ ,
e): $\displaystyle \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}} (1-\sin x)\cdot\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ ,
f): $\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty}x\left( e^{\frac{1}{x}}-1\right)$ ,
g): $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x\right)$ ,
h): $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln x} \right)$ .

17.

Primjenom L'Hospitalovog pravila izračunajte sljedeće limese:

a): $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0+0} x^x$ ,
b): $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1+0}(\ln x)^{1-x}$ ,
c): $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\left( \frac{2}{\pi}\arccos x\right)^{\frac{1}{x}}$ ,
d): $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\left(2-x\right)^{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\pi}{2}x}$ ,
e): $\displaystyle \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\sin x\right)^{\frac{1}{\cos x}}$ ,
f): $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$ .

18.

Odredite ekstreme, točke infleksije, intervale monotonosti i intervale zakrivljenosti funkcije

zadane s:

a): $\displaystyle f(x)=2x^3+3x^2-12x+5$ ,
b): $\displaystyle f(x)=x^2e^{-x}$ .

19.

Odredite intervale monotonosti funkcije

zadane s $f(x)=\frac{e^x}{x}$ .

20.

Odredite ekstreme i točke infleksije funkcije

zadane s $\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x$ .

21.

Odredite ekstreme i intervale monotonosti funkcije

zadane s $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x\sqrt{1-x}}\,e^{x}$ .

22.

Odredite intervale zakrivljenosti i točke infleksije funkcije

zadane s

23.

Od pravokutne ploče sa stranicama

odlomljen je trokut sa stranicama

. Iz preostalog dijela treba izrezati novu pravokutnu ploču maksimalne površine.

24.

Iz kvadratne limene ploče stranice

izrežu se kutovi tako da se od nastalog komada može napraviti kvadratna kutija bez poklopca maksimalnog volumena. Odredite taj volumen.

25.

Na krugu polumjera

zadana je točka

. Odredite udaljenost tetive

od točke

paralelne tangenti u točki

takve da je površina trokuta

maksimalna.

26.

Iz okruglog trupca treba istesati gredu pravokutnog presjeka tako da

a): bude što manje otpadaka,
b): nosivost grede bude što veća, pri čemu je nosivost grede proporcionalna širini i kvadratu visine grede.

27.

Brod je udaljen od najbliže točke

na obali

km. Čovjek u brodu mora što hitnije stići u mjesto udaljeno

km duž obale od točke

. Ako vesla brzinom od $4\, \textrm{km/h}$ , a pješači brzinom od $5 \, \textrm{km/h}$ , gdje se čovjek mora iskrcati da bi stigao što prije u mjesto?

28.