Rješenja

a): $f'(x)=\displaystyle 2x+3x^2+\cos x$ ,
b): $f'(x)=\displaystyle 6x^5-5x^4+4x^3+4x-2$ ,
c): $f'(x)=\displaystyle \frac{1-x^2}{x^4+2x^2+1}$ ,
d): $f'(x)=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt x}$ ,
e): $f'(x)=\displaystyle x^n$ ,
f): $f'(x)=\displaystyle -\frac{\frac{1}{2\sqrt x}+\frac{1}{6\sqrt[6]x}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}{\left(1+\sqrt[3]x\right)^2}$ ,
g): $f'(x)=\displaystyle \cos x+\frac{1}{\cos^2x}$ ,
h): $f'(x)=\displaystyle -\sin x-\frac{\cos x}{\sin^2x}-\cos x$ ,
i): $f'(x)=\displaystyle 0$ ,
j): $f'(x)=\displaystyle e^x+2^x\ln 2+\left(\frac{2}{3}\right)^x\ln \frac{2}{3}$ ,
k): $f'(x)=\displaystyle \frac{1}{x}(1+\log e),\,\, \log e=\frac{1}{\ln 10}$ ,
l): $f'(x)=\displaystyle -\frac{1}{(\sin^2x)x\ln x}-\frac{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x(\ln x+1)}{x^2\ln^2x}+3e^x+3xe^x$ .

a): $f'(x)=\displaystyle \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ ,
b): $f'(x)=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt {xe^x}}(e^x+xe^x)$ ,
c): $f'(x)=\displaystyle \frac{2x-e^x}{2\sqrt {x^2-e^x}}-\frac{1}{\vert x\vert\sqrt {x^2-1}}$ ,
d): $f'(x)=\displaystyle \frac{1}{1-x^2}$ ,
e): $f'(x)=\frac{2x(x+\cos 2x)[\ln x+\cos (2x+3)]-(x^2+\sin 2x)[1-2x\sin (2x+3)]}{x[\ln x+\cos (2x+3)]^2}$ ,
f): $f'(x)=\displaystyle -e^{-x}+\frac{\ln 2}{2}\cdot 2^{\sin{\frac{x}{2}}}\left(\cos \frac{x}{2}\right)+2\sin x\cos x$ ,
g): $f'(x)=\displaystyle -\frac{1}{\sqrt {x^2+1}}$ ,
h): $f'(x)=\displaystyle \frac{2\sin x\cos x+x}{2\sqrt {\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}\cos^2x}$ ,
i): $f'(x)=\displaystyle 45\cdot \frac{(t-2)^8}{(2t+1)^{10}}$ ,
j): $f'(x)=\displaystyle \frac{1}{x(1+\ln^2x)}+\frac{x}{(x^2+1)\sqrt{\ln (x^2+1)}}$ ,
k): $f'(x)=\displaystyle -\frac{2x\ln 5}{5^{x^2}}$ ,
l): $f'(x)=\displaystyle \frac{e^x(1+x)}{2\sqrt {xe^x}}e^{\sqrt{xe^x}}$ ,
m): $f'(x)=\displaystyle-\frac{1}{x^2} \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits {\frac{x-1}{x}}$ ,
n): $f'(x)=\displaystyle\frac{2x}{(x^2-1)^2}$ ,
o): $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{\sin^3x}$ ,
p): $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{\cos x \sqrt {\sin x}}$ .

a): $f'(x)=\displaystyle x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$ ,
b): $f'(x)= \frac{(x^2+2x+3)^{15}(2x+5)^{10}}{(5x-9)^{13}}\cdot \left(15\cdot \frac{2x+2}{x^2+2x+3}+10\cdot \frac{2}{2x+5}-13\cdot\frac{5}{5x-9}\right)$ ,
c): $f'(x)=\displaystyle \frac{\cos x}{x\sin x}-\frac{\ln (\sin x)}{x^2}$ ,
d): $f'(x)=\displaystyle \frac{\sqrt {(x-2)(x-4)}}{(x+1)(x+3)}\left[\frac{1}{2(x-2)}+\frac{1}{2(x-4)}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}\right]$ ,
e): $f'(x)=\displaystyle \sqrt[x] x\cdot \frac{1-\ln x}{x^2}$ .

a): $y'=\displaystyle \frac{e^x-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2}$ ,
b): $y'=\displaystyle -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$ ,
c): $y'=\displaystyle \frac{2ax-2xy^2}{4y^3+2x^2y}$ ,
d): $y'=\displaystyle\frac{ay-x^2}{y^2-ax}$ ,
e): $y'=\displaystyle\frac{y+2x(x^2+y^2)e^{x^2+y^2}}{x-2y(x^2+y^2)e^{x^2+y^2}}$ .

a): $\displaystyle f^{(n)}(x)=0$ , za $n\geq 6$ , $f^{(n)}(0)=\begin{cases}5!, & n=5\\ 0, & n\neq 5\end{cases}$ ,
b): $\displaystyle f^{(n)}(x)=\cos \left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$ , $\displaystyle f^{(n)}(\pi)=\begin{cases}\,0, & \text{n neparan}\\ -1, & n=4k\\ \,1, & n=4k+2\end{cases}$ ,
c): $\displaystyle f^{(n)}(x)=(n-1)!4^n[(-1)^n(1+4x)^{-n} - (1-4x)^{-n}]$ ,
$\displaystyle f^{(n)}(0)=(n-1)!4^n[(-1)^n-1]$ .

a): $y'=\displaystyle \frac{(t^2-1)(t+2)^2}{t^2(t^2+4t+2)}$ ,
b): $y'=\displaystyle - \frac{20(t+3)^4}{(t-3)^6}\cdot \frac{\sqrt {\sin (3t)}}{\cos (3t)}$ .

Jednadžba tangente je

, a normale

Jednadžba tangente je $y=\frac{1}{4}\,x$ , a diralište je $D\left(2,\frac{1}{2}\right)$ .

Jednadžba tangente je

10.

Jednadžbe tangente i normale u prvoj točki su

i $y=-\frac{1}{4}x$ , a u drugoj

i $y=\frac{1}{4}\,x+\frac{1}{2}$ .

11.

Jednadžba tangente je $y=\frac{1}{e}x$ .

12.

Jednadžba tangente je

, a normale

13.

Jednadžba tangente je $y=x+1-\frac{3\pi}{4}$ .

14.

Jednadžba tangente je $y-1=\frac{\pi^2}{4(\pi-2)} \left(x-\frac{4}{\pi}\right)$ .

15.

Jednadžba tangente je $y-1=x-\frac{\pi -2}{2}$ .

16.

a): ,
b): $\ln a$ ,
c): $\frac{6\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}$ ,
d): ,
e): 0 ,
f): ,
g): 0 ,
h): $-\frac{1}{2}$ .

17.

a): ,
b): ,
c): $e^{-\frac{2}{\pi}}$ ,
d): $e^\frac{2}{\pi}$ ,
e): ,
f): $\frac{1}{\sqrt[6]{e}}$ .

18.

a)

Ekstremi:

je lokalni maksimum,

je lokalni minimum

Intervali monotonosti: je rastuća na $\langle-\infty ,-2\rangle\cup\langle1,+\infty\rangle$ , padajuća na $\langle-2,1\rangle$

Intervali zakrivljenosti: je konkavna na $\langle-\infty ,-\frac{1}{2}\rangle$ , konveksna na $\langle-\frac{1}{2},+\infty\rangle$

Točke infleksije: $T_3(-\frac{1}{2},\frac{23}{2})$

b)

Ekstremi: $T_1(2,4 e^{-2})$ je lokalni maksimum,

je lokalni minimum

Intervali monotonosti: je padajuća na $\langle-\infty ,0\rangle\cup\langle2,+\infty\rangle$ , rastuća na $\langle0,2\rangle$

Intervali zakrivljenosti: je konveksna na $\langle-\infty ,2-\sqrt{2}\rangle\cup\langle2+\sqrt{2},+\infty\rangle$ , konkavna na $\langle2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}\rangle$

Točke infleksije: $T_3(2+\sqrt{2},(2+\sqrt{2})^2e^{-2-\sqrt{2}}), T_4(2-\sqrt{2},(2-\sqrt{2})^2e^{-2+\sqrt{2}})$

19.

Funkcija

je rastuća na $[1,\infty \rangle$ , a padajuća na $\langle-\infty,0\rangle \cup \langle0,1]$ .

20.

Funkcija f ima lokalne minimume u $\displaystyle x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$ , lokalne maksimume u $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ i infleksije u $x=k\pi$ , $x=\displaystyle\pi-\arccos\frac{1}{4}+2k\pi$ i $x=\displaystyle\pi+\arccos\frac{1}{4}+2k\pi$ , $\forall k\in\mathbb{Z}$ .

21.

Funkcija

je padajuća na $\langle-\infty,0\rangle\cup\langle0,\frac{1}{2}\rangle$ , rastuća na $\langle\frac{1}{2},1\rangle$ ,a u točki $x=\frac{1}{2}$ ima lokalni minimum.

22.

Funkcija

je konkavna na $\langle-\infty,0\rangle$ , konveksna na $\langle0,+\infty\rangle$ , a u točki

je infleksija.

23.

Ploča maksimalne površine ima stranice $x=a-\frac{1}{2d}(ad-bc+dc)$ i $y=b-\frac{1}{2c}(bc-ad+cd)$ .

24.

Maksimalan volumen iznosi $V=\frac{2a^3}{27}$ .

25.

Tetiva je udaljena za $\frac{3r}{2}$ od točke

26.

a): Najmanje otpadaka će biti za gredu kvadratnog presjeka sa stranicom $\sqrt{2}r$ .
b): Najveću nosivost će imati greda s dimenzijama poprečnog presjeka $\frac{2\sqrt{2}r}{\sqrt{3}}$ i $\frac{2r}{\sqrt{3}}$ .

27.

Čovjek se treba iskrcati

km od točke

28.

Maksimalan volumen je $V=\frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}}$ .

29.

Jednadžba tangente je $y=-x+\sqrt{2}R$ .

30.

a)

Područje definicije: $\mathbb{R}\backslash\{-2\}$

Parnost: nije ni parna ni neparna

Nul-točke:

Asimptote:

$\displaystyle\lim_{x\to -2\pm0}f(x)=\mp\infty\Rightarrow x=-2$ je vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=1\Rightarrow y=1$ je horizontalna asimptota $\Rightarrow$ nema kosih asimptota

Ekstremi: nema

Intervali monotonosti: je svuda rastuća

Točke infleksije: nema

Intervali zakrivljenosti: je konveksna na $\langle-\infty,-2\rangle$ , konkavna na $\langle -2,+\infty\rangle$

Graf funkcije: slika 5.9

**Slika 5.9:** Graf funkcije $f(x)=\displaystyle \frac {x-1}{x+2}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=derivacije/vjezba530a.eps, width=7.2cm}\end{center}\end{figure}$

b)

Područje definicije: $\mathbb{R}\backslash\{0\}$

Parnost: nije ni parna ni neparna

Nul-točke:

Asimptote:

$\displaystyle\lim_{x\to 0\pm0}f(x)=\mp\infty\Rightarrow x=0$ je vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=\pm\infty\Rightarrow$ nema horizontalnih asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=1,\lim_{x\to \pm\infty}[f(x)-x]=1\Rightarrow y=x+1$ je kosa asimptota

Ekstremi: nema

Intervali monotonosti: je svuda rastuća

Točke infleksije: nema

Intervali zakrivljenosti: je konveksna na $\langle-\infty,0\rangle$ , konkavna na $\langle0,+\infty\rangle$

Graf funkcije: slika 5.10

**Slika 5.10:** Graf funkcije $f(x)=\displaystyle x+1-\frac {2}{x}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=derivacije/vjezba530b.eps, width=7.2cm}\end{center}\end{figure}$

c)

Područje definicije: $\mathbb{R}$

Parnost: je parna

Nul-točke:

Asimptote:

Područje definicije je $\mathbb{R}$ pa nema vertikalnih asimptota.

$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=-1\Rightarrow y=-1$ je horizontalna asimptota $\Rightarrow$ nema kosih asimptota

Ekstremi: $T_0\left(0,\frac{4}{3}\right)$ je lokalni maksimum

Intervali monotonosti: je rastuća na $\langle-\infty,0\rangle$ , padajuća na $\langle0,+\infty\rangle$

Točke infleksije: $T_1\left(-1,\frac{3}{4}\right)$ i $T_2\left(1,\frac{3}{4}\right)$

Intervali zakrivljenosti: je konveksna na $\langle-\infty,-1\rangle \cup \langle1,+\infty \rangle$ , konkavna na $\langle -1,1\rangle$

Graf funkcije: slika 5.11

**Slika 5.11:** Graf funkcije $f(x)=\displaystyle \frac {7}{x^2+3}-1$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=derivacije/vjezba530c.eps, width=7.2cm}\end{center}\end{figure}$

d)

Područje definicije: $\mathbb{R}\backslash\{-2,2\}$

Parnost: je neparna

Nul-točke:

Asimptote:

$\displaystyle\lim_{x\to \pm2\pm0}f(x)=\pm\infty\Rightarrow x=2$ i su vertikalne asimptote

$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=\pm\infty\Rightarrow$ nema horizontalnih asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=2, \lim_{x\to \pm\infty}[f(x)-2x]=0\Rightarrow y=2x$ je kosa asimptota

Ekstremi: $T_1(-2\sqrt{3},-6\sqrt{3})$ je lokalni maksimum, $T_2(2\sqrt{3},6\sqrt{3})$ je lokalni minimum

Intervali monotonosti: je rastuća na $\langle -\infty,-2\sqrt{3}\rangle\cup\langle 2\sqrt{3},+\infty\rangle$ , padajuća na $\langle -2\sqrt{3},-2\rangle\cup\langle -2,2\rangle\cup\langle 2,2\sqrt{3}\rangle$

Točke infleksije:

Intervali zakrivljenosti: je konkavna na $\langle -\infty,-2\rangle\cup\langle 0,2\rangle$ , konveksna na $\langle \displaystyle -2,0\rangle\cup\langle 2,+\infty\rangle$

Graf funkcije: slika 5.12

**Slika 5.12:** Graf funkcije $f(x)=\displaystyle \frac {2x^3}{x^2-4}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=derivacije/vjezba530d.eps, width=7.2cm}\end{center}\end{figure}$

e)

Neka je $g(x)=\displaystyle e^{\frac {1}{x}}-ex$ . Skicirajmo prvo graf funkcije iz kojeg ćemo onda konstruirati graf funkcije .

Područje definicije: $\mathbb{R}\backslash\{0\}$

Parnost: nije ni parna ni neparna

Nul-točke:

Asimptote:

$\displaystyle\lim_{x\to 0+0}g(x)=+\infty, \lim_{x\to 0-0}g(x)=0\Rightarrow x=0$ je desna vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}g(x)=\mp\infty\Rightarrow$ nema horizontalnih asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}\frac{g(x)}{x}=-e,\lim_{x\to \pm\infty}[g(x)+e x]=1\Rightarrow y=-e x+1$ je kosa asimptota

Ekstremi: nema

Intervali monotonosti: je svuda padajuća

Točke infleksije: u $x_1=-\frac{1}{2}$ je točka infleksije

Intervali zakrivljenosti: je konveksna na $\langle -\frac{1}{2},0\rangle\cup\langle 0,+\infty\rangle$ , konkavna na $\langle-\infty ,-\frac{1}{2}\rangle$

Graf funkcije: slika 5.13

**Slika 5.13:** Grafovi funkcija $g(x)=\displaystyle e^{\frac {1}{x}}-ex$ i $f(x)=\displaystyle \vert e^{\frac {1}{x}}-ex\vert$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=derivacije/vjezba530e.eps, width=10cm}\end{center}\end{figure}$

f)

Područje definicije: $\langle0,e\rangle\cup\langle e,+\infty\rangle$

Parnost: nije ni parna ni neparna

Nul-točke: $x_0=\frac{1}{e}$

Asimptote:

$\displaystyle\lim_{x\to 0+0}f(x)=0\Rightarrow x=0$ nije vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to e\pm0}f(x)=\mp\infty \Rightarrow x=e$ je vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty\Rightarrow$ nema horizontalnih asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=-1,\lim_{x\to +\infty}[f(x)+x]=-\infty\Rightarrow$ nema kosih asimptota

Ekstremi: u $x_1=e^{\sqrt{3}}$ je lokalni maksimum, u $x_2=e^{-\sqrt{3}}$ je lokalni minimum

Intervali monotonosti: je rastuća na $\langle e^{-\sqrt{3}},e\rangle\cup\langle e,e^{\sqrt{3}}\rangle$ , padajuća na $\langle0,e^{-\sqrt{3}}\rangle\cup\langle e^{\sqrt{3}},+\infty\rangle$

Točke infleksije:

Intervali zakrivljenosti: je konveksna na $\langle 0,e\rangle\cup\langle e^3,+\infty\rangle$ , konkavna na $\langle e,e^3\rangle$

Graf funkcije: slika 5.14

**Slika 5.14:** Graf funkcije $f(x)=\displaystyle x\frac {1+\ln x}{1-\ln x}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=derivacije/vjezba530f.eps, width=7.2cm}\end{center}\end{figure}$

31.

a)

Područje definicije: $\mathbb{R}\backslash\{\pm2\}$

Parnost: je parna

Nul-točke: nema

Asimptote:

$\displaystyle\lim_{x\to 2+0}f(x)=+\infty, \displaystyle\lim_{x\to 2-0}f(x)=0\Rightarrow x=2$ je desna vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to -2+0}f(x)=0, \displaystyle\lim_{x\to -2-0}f(x)=+\infty\Rightarrow x=-2$ je lijeva vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=e\Rightarrow y=e$ je horizontalna asimptota, kosih asimptota nema

Ekstremi: $T(0,\sqrt[4]{e})$ je lokalni maksimum

Intervali monotonosti: je rastuća na $\displaystyle\langle-\infty,-2\rangle\cup\langle-2,0\rangle$ , padajuća na $\displaystyle\langle0,2\rangle\cup\langle2,+\infty\rangle$

Graf funkcije: slika 5.15

**Slika 5.15:** Graf funkcije $f(x)=\displaystyle e^{\frac {x^2-1}{x^2-4}}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=derivacije/vjezba531a.eps, width=7.2cm}\end{center}\end{figure}$

b)

Područje definicije: $\langle-\infty,-2\rangle\cup\langle-1,0\rangle\cup\langle1,+\infty\rangle$

Parnost: nije ni parna ni neparna

Nul-točke: nema

Asimptote:

$\displaystyle\lim_{x\to -2-0}f(x)=+\infty\Rightarrow x=-2$ je lijeva vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to -1+0}f(x)=-\infty\Rightarrow x=-1$ je desna vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to 0-0}f(x)=-\infty\Rightarrow x=0$ je lijeva vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to 1+0}f(x)=+\infty\Rightarrow x=1$ je desna vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0\Rightarrow y=0$ je horizontalna asimptota $\Rightarrow$ nema kosih asimptota

Ekstremi: $T\left(-\frac{1}{2},-\ln{9}\right)$ je lokalni maksimum

Intervali monotonosti:

je rastuća na $\langle-\infty,-2\rangle\cup\langle-1,-\frac{1}{2}\rangle$ , padajuća na $\langle-\frac{1}{2},0\rangle\cup\langle1,+\infty\rangle$

Graf funkcije: slika 5.16

**Slika 5.16:** Graf funkcije $f(x)=\displaystyle \ln {\left ( 1+\frac {2}{x^2+x-2}\right )}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=derivacije/vjezba531b.eps, width=7.2cm}\end{center}\end{figure}$

c)

Područje definicije: $\langle-\infty,0\rangle\cup\langle 1,+\infty\rangle$

Parnost: nije ni parna ni neparna

Nul-točke: ne računamo

Asimptote:

$\displaystyle\lim_{x\to 0-0}f(x)=-\infty\Rightarrow x=0$ je lijeva vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to 1+0}f(x)=+\infty\Rightarrow x=1$ je desna vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=\pm\infty\Rightarrow$ nema horizontalnih asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=1,\,\lim_{x\to \pm\infty}[f(x)-x]=0\Rightarrow y=x$ je kosa asimptota

Ekstremi: $T_1(2,2+2\ln{2})$ je lokalni minimum, $T_2(-1,-1-2\ln{2})$ je lokalni maksimum

Intervali monotonosti: je rastuća na $\langle-\infty,-1\rangle\cup\langle 2,+\infty\rangle$ , padajuća na $\langle-1,0\rangle\cup\langle 1,2\rangle$

Graf funkcije: slika 5.17

**Slika 5.17:** Graf funkcije $f(x)=\displaystyle x-2\ln {\left (1-\frac {1}{x}\right )}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=derivacije/vjezba531c.eps, width=7.2cm}\end{center}\end{figure}$

d)

Područje definicije: $\langle-\infty,-2\rangle\cup\langle-2,-1]\cup[4,+\infty\rangle$

Parnost: nije ni parna ni neparna

Nul-točke:

Asimptote:

$\displaystyle\lim_{x\to -1-0}f(x)=0 \Rightarrow x=-1$ nije lijeva vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to 4+0}f(x)=0\Rightarrow x=4$ nije desna vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to -2\pm0}f(x)=\pm\infty\Rightarrow x=-2$ je vertikalna asimptota

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{2}$ je desna horizontalna asimptota $\Rightarrow$ nema desnu kosu asimptotu

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{2}$ je lijeva horizontalna asimptota $\Rightarrow$ nema lijevu kosu asimptotu