☰ matematika1

NIZOVI I REDOVI NIZOVI I REDOVI Gomilište niza

Limes niza po definiciji

Dokažite da je

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\right)}=0.$

Rješenje. Da bismo dokazali da je

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\right)}=0,$

prema

[M1, definicija 6.3], trebamo za svaki $\varepsilon>0$ pronaći $n_{\varepsilon}\in \mathbb{N}$ takav da za svaki $n\geq n_{\varepsilon}$ vrijedi

$\displaystyle \mid a_n-a\mid <\varepsilon,$

(6.1)

gdje je $a_n=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}$ i

Budući je $\sqrt[3]{n+1}>\sqrt[3]{n}$ , odnosno $\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}>0$ , slijedi

$\displaystyle \mid a_n-a\mid=\mid (\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})-0\mid=\mid \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\mid=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}.$

Dakle, za svaki $n\geq n_{\varepsilon}$ treba biti

$\displaystyle \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}<\varepsilon.$

Racionalizacijom dobivamo

$\displaystyle \left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\right)\cdot \frac{\sqrt[3]{(n+1)^... ...}+\sqrt[3]{n^2}}{\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2}}<\varepsilon,$

odnosno,

$\displaystyle \frac{(n+1)-n}{\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2}}<\varepsilon.$

Množenjem cijele nejednakosti s nazivnikom slijedi

$\displaystyle 1<\varepsilon \left(\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2}\right).$

Nadalje, vrijedi

$\displaystyle 1<\varepsilon \left(\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2}\right)<\varepsilon \left(3\, \sqrt[3]{(n+1)^2}\right)$

jer je

, za svaki $n\in \mathbb{N}$ . Stoga dobivamo

$\displaystyle \frac{1}{3\varepsilon}<\sqrt[3]{(n+1)^2}.$

Potenciranjem cijele nejednakosti slijedi

$\displaystyle \frac{1}{27 \varepsilon^3}<(n+1)^2,$

odnosno,

$\displaystyle n>\frac{1}{\sqrt{27 \varepsilon^3}}-1.$

S obzirom da je posljednja nejednakost ekvivalentna nejednakosti (6.1), zaključujemo da možemo izabrati

$\displaystyle n_\varepsilon=\bigg\lfloor \frac{1}{\sqrt{27 \varepsilon^3}}-1\bigg\rfloor+1.$

Dobili smo da za svaki $\varepsilon>0$ postoji $n_{\varepsilon}$ takav da za svaki $n\geq n_\varepsilon$ vrijedi $\mid a_n-a\mid<\varepsilon$ , što smo i trebali dokazati.

NIZOVI I REDOVI NIZOVI I REDOVI Gomilište niza