×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Limes produkta     NIZOVI I REDOVI     Limes niza s produktima

Limes niza sa sumama

Izračunajte limes niza čiji je opći član:

a)

$a_n=\displaystyle\frac{1}{n^3}\sum\limits_{k=1}^{n}k(k+1)$ ,

b)

$a_n=\displaystyle \frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^n (2k-1)-\frac{2n+1}{2}$ .

Rješenje.

a)

Vrijedi

$$a_n =\frac{1}{n^3}\sum\limits_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{n^3}\sum\limit... ...2+k)= \frac{1}{n^3}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}k^2+\sum\limits_{k=1}^{n}k\right)$$

$$=\frac{1}{n^3}\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right]=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6n^3}=\frac{n^2+3n+2}{3n^2},$$

odakle slijedi

$$\lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}\frac{n^2+3n+2}{3n^2}=\frac{1}{3}.$$

b)

Vrijedi

$$a_n =\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^n (2k-1)-\frac{2n+1}{2}=\frac{1}{n+1}\left(2\sum_{k=1}^n k-\sum_{k=1}^n 1\right)-\frac{2n+1}{2}$$

$$=\frac{1}{n+1}\left[2\cdot\frac{n(n+1)}{2}-n\right]-\frac{2n+1}{2}= \frac{n^2}{n+1}-\frac{2n+1}{2}=-\frac{3n+1}{2(n+1)},$$

pa je

$$\lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}\left[-\frac{3n+1}{2(n+1)}\right]=-\frac{3}{2}.$$