Limes niza s produktima

Izračunajte limes niza čiji je opći član:

Rješenje.

a)

Svođenjem na zajednički nazivnik, faktorizacijom brojnika i raspisivanjem članova produkta dobivamo

$\displaystyle a_n$	$\displaystyle =\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\prod_{k=2}^n\frac{k^2-1}{k^2}=\prod_{k=2}^n\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$
	$\displaystyle =\frac{1\cdot3}{2^2}\cdot\frac{2\cdot4}{3^2}\cdot\frac{3\cdot5}{4... ...rac{(n-3)(n-1)}{(n-2)^2}\cdot\frac{(n-2)n}{(n-1)^2}\cdot\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}.$

Skraćivanjem slijedi

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{n},$

odakle je

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\frac{1}{2}.$

b)

Faktorizacijom brojnika i raspisivanjem članova produkta dobivamo

$\displaystyle a_n$	$\displaystyle =\prod\limits_{k=2}^{n}\frac{k^2+k-2}{k(k+1)}= \prod\limits_{k=2}^{n}\frac{(k-1)(k+2)}{k(k+1)}$
	$\displaystyle =\frac{1\cdot 4}{2\cdot 3}\cdot \frac{2\cdot 5}{3\cdot 4}\cdot \f... ...3)n}{(n-2)(n-1)}\cdot \frac{(n-2)(n+1)}{(n-1)n}\cdot \frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}.$

Nakon skraćivanja vidimo da je

$\displaystyle a_n=\frac{n+2}{3n},$

pa slijedi

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\frac{1}{3}.$