Prvi poredbeni kriterij konvergencije

Ispitajte konvergenciju reda:

a): $\displaystyle 1+\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+\cdots+\frac{1}{\ln n}+\cdots$ ,
b): $\displaystyle 1+\frac{\vert\sin{2a}\vert}{2^{3}}+\frac{\vert\sin{3a}\vert}{3^{3}}+\cdots+\frac{\vert\sin{n a}\vert}{n^{3}}+\cdots$ .

Rješenje.

a)

Za svaki $n\geq 2$ je $\ln n\geq 0$ pa zadani red ima pozitivne članove. Još vrijedi

$\displaystyle \frac{1}{\ln n} \geq \frac{1}{n},$

pri čemu je harmonijski red $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ iz

[M1, primjer 6.10] divergentan. Stoga, prema tvrdnji (i) iz

[M1, teorem 6.10], zaključujemo da je promatrani red, kao red s pozitivnim članovima i divergentnom minorantom, divergentan.

b)

Zadani red ima pozitivne članove i za svaki $n\in \mathbb{N}$ vrijedi

$\displaystyle \frac{\vert\sin{n a}\vert}{n^{3}}\leq\frac{1}{n^{3}}.$

Budući je, prema

[M1, napomena 6.3], red

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{3}}$

konvergentan, zaključujemo da zadani red ima konvergentnu majorantu. Stoga tvrdnja (i) iz

[M1, teorem 6.10] povlači da je konvergentan.