Određivanje područja konvergencije D'Alembertovim kriterijem

Odredite područje konvergencije i ispitajte ponašanje na rubu područja konvergencije reda:

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n(n+1)}$ ,

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n^2}}{n!}$ ,

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{2n-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^n$ .

Rješenje.

Vrijedi

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert= \lim... ...n\to \infty} \frac{n}{n+2}\cdot\left\vert x\right\vert=\left\vert x\right\vert.$

Prema D'Alembertovom kriteriju (iii) iz

[M1, teorem 6.10], zadani red konvergira za sve $x\in \mathbb{R}$ za koje vrijedi $\left\vert x\right\vert< 1$ , a divergira za sve $x\in \mathbb{R}$ za koje je $\left\vert x\right\vert>1$ . U točkama u kojima je $\left\vert x\right\vert=1$ nema odluke. Dakle, zadani red konvergira za sve $x\in\langle -1,1\rangle$ , a divergira za sve $x\in\langle -\infty,-1\rangle\cup\langle 1,+\infty\rangle$ . Preostaje ispitati konvergenciju zadanog reda u točkama

. Uvrštavanjem točke

dobivamo red

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$

iz primjera 6.12 u

[M1, poglavlje 6.2.2] koji konvergira, a uvrštavanjem točke

alternirani red

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$

koji također konvergira jer apsolutno konvergira. Dakle, područje konvergencije je

Zbog (6.4) vrijedi

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert$	$\displaystyle = \lim_{n\to \infty} \left\vert\frac{\displaystyle\frac{x^{(n+1)^... ...\infty} \frac{n!}{(n+1)!}\cdot\left\vert\frac{x^{n^2+2n+1}}{x^{n^2}}\right\vert$
	$\displaystyle = \lim_{n\to \infty} \frac{{\left\vert x\right\vert}^{2n+1}}{n+1}... ...atrix}0, & \vert x\vert\leq 1\\ +\infty, & \vert x\vert>1 \end{matrix} \right..$

Prema D'Alembertovom kriteriju, zadani red konvergira za sve $x\in[ -1,1]$ , a divergira za sve $x\in\langle -\infty,-1\rangle\cup\langle 1,+\infty\rangle$ .

Budući je

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert= \lim... ...dot \left\vert\frac{1-x}{1+x}\right\vert =\left\vert\frac{1-x}{1+x}\right\vert,$

prema D'Alembertovom kriteriju, zadani red konvergira za sve $x\in\mathbb{R}\backslash\{-1\}$ za koje vrijedi

$\displaystyle \left\vert\frac{1-x}{1+x}\right\vert<1,$

odnosno za sve $x\in\langle 0,+\infty\rangle$ , a divergira za sve $x\in\langle -\infty,0\rangle$ . Za točku

D'Alembertov kriterij ne daje odluku pa taj slučaj promatramo posebno. Uvrštavanjem dobivamo alternirani red

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n-1}$

koji konvergira prema Leibnizovom kriteriju. Dakle, područje konvergencije je $[0,+\infty\rangle$ .

Leibnizov kriterij konvergencije

NIZOVI I REDOVI

Određivanje područja konvergencije Cauchyjevim