Leibnizov kriterij konvergencije

Ispitajte konvergenciju reda:

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\sin\frac{1}{n}$ ,

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n-\ln{n}}$ .

Rješenje.

Zadani red je alternirani red, jer za svaki $n\in \mathbb{N}$ vrijedi

$\displaystyle \frac{1}{n}\in\langle 0,1] \quad\textrm{zbog čega je}\quad \sin\frac{1}{n}>0.$

Konvergenciju alterniranog reda ispitujemo provjerom uvjeta (i) i (ii) Leibnizovog kriterija

[M1, teorem 6.13]. Prvo provjeravamo je li niz apsolutnih vrijednosti članova zadanog reda padajući, odnosno, vrijedi li za svaki $n\in \mathbb{N}$ nejednakost

$\displaystyle \vert a_{n+1}\vert\leq \vert a_n\vert,\quad\textrm{gdje je}\quad a_n=(-1)^n\sin\frac{1}{n}.$

Ovo je ekvivalentno nejednakosti

$\displaystyle \sin\frac{1}{n+1}\leq\sin\frac{1}{n},$

koja vrijedi jer je $\sin x$ rastuća funkcija na intervalu $\langle 0,1]$ . Zbog

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\vert a_n\vert=\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{n}=\sin 0 =0,$

vidimo da je i drugi uvjet zadovoljen pa zaključujemo da zadani red konvergira.

Zbog svojstava logaritamske funkcije, opći član reda je jednak

$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n-\ln{n}}=\frac{(-1)^n}{\ln e^n-\ln{n}}=\frac{(-1)^n}{\ln{\frac{e^n}{n}}},$

odakle vidimo da je zadani red alternirani. Provjerimo prvi uvjet iz Leibnizovog kriterija. Za svaki $n\in \mathbb{N}$ treba vrijediti

$\displaystyle \vert a_{n+1}\vert\leq \vert a_n\vert,$

(6.9)

odnosno redom

$\displaystyle \frac{1}{\ln{\frac{e^{n+1}}{n+1}}}$	$\displaystyle \leq\frac{1}{\ln{\frac{e^n}{n}}},$
$\displaystyle \ln{\frac{e^n}{n}}$	$\displaystyle \leq\ln{\frac{e^{n+1}}{n+1}},$
$\displaystyle {\frac{e^n}{n}}$	$\displaystyle \leq{\frac{e^{n+1}}{n+1}},$

jer je logaritamska funkcija rastuća. Skraćivanjem dobivamo nejednakost

$\displaystyle 1+\frac{1}{n}\leq e$

koja, prema

[M1, poglavlje 6.1.3], vrijedi za svaki $n\in \mathbb{N}$ . Budući da je dobivena nejednakost ekvivalentna (6.9), slijedi da je prvi uvjet zadovoljen. Nadalje, vrijedi

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\vert a_n\vert=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\ln{\frac{e^n}{n}}}=0,$

jer proširenjem po neprekidnosti i primjenom L'Hospitalovog pravila dobivamo

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{e^n}{n}=\lim_{x \to \infty}\frac{e^x}{x}=\lim_{x \to \infty}\frac{e^x}{1}=\infty.$

Stoga je zadovoljen i drugi uvjet Leibnizovog kriterija pa

[M1, teorem 6.13] povlači da zadani red konvergira.

Apsolutna konvergencija

NIZOVI I REDOVI

Određivanje područja konvergencije D'Alembertovim