Korjenovanje kompleksnih brojeva

Koristeći trigonometrijski oblik kompleksnog broja izračunajte:

a): $\displaystyle \sqrt[3]{1}$ ,
b): $\displaystyle \sqrt{-3\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)}$ .

Rješenje.

a)

Prema

[M1, poglavlje 1.8.1], trigonometrijski oblik od

jednak je

$\displaystyle w=1\cdot\left(\cos 0+i\sin 0\right).$

Formula [M1, (1.5)]

daje

$\displaystyle \sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{1}\left[\cos\frac{0+2k\pi}{3}+i\sin\frac{0+2k\pi}{3}\right],\quad k=0,1,2.$

Dakle, rješenja su:

	$\displaystyle z_0=\cos0+i\sin0=1,$
	$\displaystyle z_1=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,$
	$\displaystyle z_2=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.$

b)

Za kompleksni broj

$\displaystyle z=-3\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)= -3\left(\f... ...rt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{3\sqrt{2}}{2}+i\frac{3\sqrt{2}}{2},$

je $\vert z\vert=3$ , a za argument $\varphi$ vrijedi $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi =-1$ , pri čemu je

iz drugog kvadranta. Stoga je $\varphi =\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$ pa trigonometrijski oblik od

glasi

$\displaystyle z=3\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right).$

Prema formuli [M1, (1.5)]

$\displaystyle \sqrt{z}=\sqrt{3}\left[\cos\left(\frac{\displaystyle\frac{3\pi}{4... ...sin\left(\frac{\displaystyle\frac{3\pi}{4}+2k\pi}{2}\right)\right],\quad k=0,1.$

Tražena rješenja su:

	$\displaystyle z_0=\sqrt{3}\left(\cos\frac{3\pi}{8}+i\sin\frac{3\pi}{8}\right),$
	$\displaystyle z_1=\sqrt{3}\left(\cos\frac{11\pi}{8}+i\sin\frac{11\pi}{8}\right).$

Potenciranje kompleksnih brojeva OSNOVE MATEMATIKE Dijeljenje kompleksnih brojeva