Trigonometrijski oblik

Kao što se vidi na slici 1.2, kompleksni broj

je jednoznačno određen s modulom

i s kutom $\varphi$ između radij-vektora $\overrightarrow{OT}$ i pozitivnog smjera

-osi. Kut $\varphi$ je argument broja , odnosno $\varphi =\arg z$ .

Primjer 1.4

a)

Skup

$\displaystyle % \{ z\in \mathbb{C}: \vert z-i+1\vert\leq 2\}$

je krug radijusa dva sa središtem u točki

(vidi sliku 1.3). Zaista, iz definicije 1.19 slijedi

$\displaystyle % \vert z-i+1\vert\leq 2 \Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}\leq 2 \Leftrightarrow (x+1)^2+(y-1)^2\leq 4.$

Općenito, skup

$\displaystyle % \{ z\in \mathbb{C}: \vert z-z_0\vert\leq r\}$

je krug radijusa

oko točke

b)

Skup

$\displaystyle % \{ z\in \mathbb{C}: 0<\arg z <\frac{\pi}{3} \wedge \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z \geq 1\}$

nacrtan je na slici 1.4. Pri tome se točke na iscrtkanom pravcu nalaze izvan skupa, kao i točka u kojoj se dva pravca sijeku.

c)

Skup

$\displaystyle % \{ z\in \mathbb{C}: \vert z-1\vert+\vert z+2\vert=5\}$

je elipsa sa žarištima u točkama

(vidi sliku 1.5).

Općenito, skup

$\displaystyle % \{ z\in \mathbb{C}: \vert z-z_1\vert+\vert z-z_2\vert=r, z_1\neq z_2, r>0\}$

je skup svih točaka čiji je zbroj udaljenosti do dvije fiksne točke konstantan. Moguća su tri slučaja: ako je $\vert z_1-z_2\vert<r$ , tada se radi o elipsi; ako je $\vert z_1-z_2\vert=r$ , tada se radi o dužini koja spaja točke

; a ako je $\vert z_1-z_2\vert>r$ , tada se radi o praznom skupu.

**Slika 1.3:** Krug u kompleksnoj ravnini
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/komkrug.eps,width=6.0cm} \end{center}\end{figure}$

**Slika 1.4:** Dio kompleksne ravnine
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/komrav.eps,width=7.2cm} \end{center}\end{figure}$

**Slika 1.5:** Elipsa u kompleksnoj ravnini
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/komel.eps,width=8.4cm} \end{center}\end{figure}$

Zadatak 1.6 Dokažite da je elipsa iz primjera 1.4.c zadana s formulom

$\displaystyle % \frac{(x+\frac{1}{2})^2}{6.25}+\frac{y^2}{4}=1.$

Po uzoru na primjer 1.4.c analizirajte skup

$\displaystyle % \{ z\in \mathbb{C}: \vert z-z_1\vert-\vert z-z_2\vert=r, z_1\neq z_2, r>0\}.$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja omogućuje jednostavno izvođenje računskih operacija. Adicioni teoremi daju

Primjer 1.5 Izračunajmo $\sqrt[6]{1}=\sqrt[6]{1+0i}$ . Trigonometrijski oblik glasi

$\displaystyle % 1=1\cdot (\cos 0 + i \sin 0),$

pa formula (1.5) daje

$\displaystyle % \sqrt[6]{1}=1\cdot \bigg( \cos \frac{0+2k\pi}{6}+i\sin \frac{0+2k\pi}{6}\bigg), \quad k=0,1,2,3,4,5.$

Uvrštavanje vrijednosti za

daje šest različitih šestih korijena:

$\displaystyle w_0$	$\displaystyle =\cos 0 + i \sin 0 = 1,$
$\displaystyle w_1$	$\displaystyle =\cos \frac{\pi}{3}+ i \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2},$
$\displaystyle w_2$	$\displaystyle =\cos \frac{2\pi}{3}+ i \sin \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2},$
$\displaystyle w_3$	$\displaystyle =\cos \pi + i \sin \pi = -1,$
$\displaystyle w_4$	$\displaystyle =\cos \frac{4\pi}{3}+ i \sin \frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2},$
$\displaystyle w_5$	$\displaystyle =\cos \frac{5\pi}{3}+ i \sin \frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}.$

$\displaystyle z_1\cdot z_2$	$\displaystyle = r_1(\cos \varphi _1+i\sin \varphi _1)\cdot r_2(\cos \varphi _2+i\sin \varphi _2)$
	$\displaystyle = r_1r_2 [\cos \varphi _1\cos \varphi _2-\sin\varphi _1\sin \varphi _2 + i(\sin\varphi _1\cos \varphi _2+\cos\varphi _1\sin \varphi _2)]$	(1.3)
	$\displaystyle = r_1r_2(\cos (\varphi _1+\varphi _2)+i \sin(\varphi _1+\varphi _2)).$