×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Određivanje područja konvergencije Cauchyjevim     NIZOVI I REDOVI     Taylorov razvoj racionalne funkcije

Područje apsolutne konvergencije

Odredite područje apsolutne konvergencije reda

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^n}{(2n+1)(2n+3)}$$

i sumu reda u točki $x=2$ .

Rješenje. Vrijedi

$$\lim_{n\to \infty}\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert = \lim... ...vert= \lim_{n\to \infty} \frac{2n+1}{2n+5}\cdot \vert x-1\vert= \vert x-1\vert.$$

Prema D'Alembertovom kriteriju (iii) iz [M1, teorem 6.10], red apsolutno konvergira za sve $x\in \mathbb{R}$ za koje vrijedi $\vert x-1\vert<1$ , odnosno za $x\in\langle 0,2\rangle$ .

Preostaje ispitati apsolutnu konvergenciju u točkama $x_1=0$ i $x_2=2$ . Uvrštavanjem točke $x_1=0$ dobivamo red

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+3)},$$

a točke $x_2=2$ red

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}.$$

U oba slučaja vrijedi

$$\vert a_n\vert = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right),$$

pa je parcijalna suma dana s

$$s_k = \sum_{n=1}^k \vert a_n\vert = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-... ...k+1}-\frac{1}{2k+3}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}\right).$$

Iz ovoga slijedi da je

$$\lim_{k\to \infty} s_k = \frac{1}{6},$$

što je suma reda u točki $x_2=2$ . Također, zaključujemo da zadani red apsolutno konvergira u točkama $x_1=0$ i $x_2=2$ . Konačno, područje apsolutne konvergencije reda je segment $[0,2]$ .

Određivanje područja konvergencije Cauchyjevim     NIZOVI I REDOVI     Taylorov razvoj racionalne funkcije