×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Područje apsolutne konvergencije     NIZOVI I REDOVI     MacLaurinov razvoj racionalne funkcije

Taylorov razvoj racionalne funkcije

Razvijte u Taylorov red oko točke $x_0=3$ funkciju $f$ zadanu s

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

te odredite područje konvergencije dobivenog reda i izračunajte sumu reda

$$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\frac{16}{243}+\cdots.$$

Rješenje. Odredimo prvo $n$ -tu derivaciju funkcije $f$ u točki $x_0=3$ . Iz

$$f'(x) =(-1)\, x^{-2},$$

$$f''(x) =(-1) (-2)\, x^{-3},$$

$$f'''(x) =(-1) (-2) (-3)\, x^{-4},$$

zaključujemo

$$f^{(n)}(x) = (-1)(-2)(-3)\cdots(-n) x^{-(n+1)}=(-1)^n\, n! \,x^{-(n+1)},$$

pa je

$$f^{(n)}(3) = (-1)^n\, n!\, 3^{-(n+1)}=\frac{(-1)^n\, n!}{3^{n+1}}.$$

Prema [M1, teorem 6.18], Taylorovog razvoj funkcije $f$ oko točke $x_0=3$ glasi

$$f(x) = f(3)+\sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(3)}{n!} (x-3)^n,$$

odakle uvrštavanjem $f(3)$ i $f^{(n)}(3)$ slijedi

$$f(x) = \frac{1}{3}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n }{3^{n+1}} (x-3)^n,$$

odnosno

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{3^{n+1}} (x-3)^n.$$ (6.10)

Odredimo sada područje konvergencije dobivenog reda. Zbog

$$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n\vert}= \lim_{n\to \infty} \... ...\to \infty} \frac{\vert x-3\vert}{3^{\frac{n+1}{n}}} =\frac{\vert x-3\vert}{3},$$

Cauchyjev kriterij povlači da red konvergira ako je $\vert x-3\vert<3$ , odnosno za sve $x\in\langle0,6\rangle$ . Redovi u točkama $x_1=0$ i $x_2=6$ ,

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3}\quad\textrm{ i }\quad\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3},$$

divergiraju jer ne zadovoljavaju nužan uvjet konvergencije. Dakle, područje konvergencije je $\langle0,6\rangle$ .

Izračunajmo sada sumu zadanog reda. Vrijedi

$$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\frac{16}{243}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{n}}{3^{n+1}}.$$

Za $x=1$ formula (6.10) daje

$$f(1)=\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{n}}{3^{n+1}},$$

a jer je $f(1)=1$ , slijedi

$$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\frac{16}{243}+\cdots=1.$$

Područje apsolutne konvergencije     NIZOVI I REDOVI     MacLaurinov razvoj racionalne funkcije