MacLaurinov razvoj logaritamske funkcije

Razvijte u MacLaurinov red funkciju zadanu s

$\displaystyle f(x)=\ln(1+2x)$

i odredite područje konvergencije dobivenog reda.

Rješenje. Odredimo prvo -tu derivaciju funkcije u točki . Iz

$\displaystyle f'(x)$	$\displaystyle =(1+2x)^{-1}\cdot 2,$
$\displaystyle f''(x)$	$\displaystyle =(-1) (1+2x)^{-2}\cdot 2^2,$
$\displaystyle f'''(x)$	$\displaystyle =(-1)(-2)(1+2x)^{-3}\cdot 2^3,$

zaključujemo

$\displaystyle f^{(n)}(x)$	$\displaystyle =(-1)(-2)\cdots [-(n-1)] (1+2x)^{-n}\cdot 2^n$
	$\displaystyle =(-1)^{n-1}(n-1)!\, (1+2x)^{-n}\cdot 2^n,$

pa je

$\displaystyle f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)!\, 2^n.$

Prema

[M1, teorem 6.18], MacLaurinov razvoj funkcije

glasi

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{2^n x^n}{n}.$

Budući je

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\left\vert a_n\right\vert}= \lim_{n\to... ...ert}= \lim_{n\to \infty}\frac{2}{\sqrt[n]{n}}\cdot \vert x\vert=2 \vert x\vert,$

Cauchyjev kriterij povlači da dobiveni red konvergira za $x\in \left\langle-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle$ . U točki $x_1=-\frac{1}{2}$ imamo

$\displaystyle -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},$

koji divergira jer harmonijski red divergira, dok u točki $x_2=\frac{1}{2}$ imamo alternirani red

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n},$

koji konvergira prema Leibnizovom kriteriju. Dakle, područje konvergencije je $\left\langle-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ .

MacLaurinov razvoj racionalne funkcije NIZOVI I REDOVI Taylorov razvoj iracionalne funkcije