×   HOME
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika1
Jednadžbe u skupu kompleksnih     OSNOVE MATEMATIKE     Sustav jednadžbi u skupu


Kompleksna ravnina

Odredite i skicirajte skup svih kompleksnih brojeva $ z$ za koje vrijedi:

a)
$ \displaystyle \vert z-i\vert\leq1$ i $ \displaystyle \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits \left[(1+i)z\right]\leq1$ ,

b)
$ \displaystyle \vert z\vert^2-5\vert z\vert+6<0$ i $ \displaystyle\frac{\pi}{3}\leq \arg z\leq \pi$ ,

c)
$ \displaystyle \vert z\vert>2+\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z$ ,

d)
$ \displaystyle \left\vert\frac{z-2}{z+1-i}\right\vert\geq 1$ i $ \displaystyle \mathop{\mathrm{Re}}\nolimits \left(\frac{1}{\overline{z}}\right)\leq\frac{1}{2}$ .

Rješenje.

a)
Uvrštavanjem $ z=x+iy$ u prvu nejednadžbu slijedi

$\displaystyle \vert x+i(y-1)\vert$ $\displaystyle \leq 1,$    
$\displaystyle \sqrt{x^2+(y-1)^2}$ $\displaystyle \leq 1, \quad\big/\,^2$    
$\displaystyle x^2+(y-1)^2$ $\displaystyle \leq 1.$    

Skup rješenja zadnje nejednadžbe je krug radijusa $ 1$ sa središtem u točki $ S(0,1)$ , odnosno nejednadžbu zadovoljavaju svi kompleksni brojevi koji se nalaze unutar i na rubu tog kruga. Iz druge nejednadžbe slijedi

$\displaystyle \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits \left[(1+i)(x+iy)\right]$ $\displaystyle \leq 1,$    
$\displaystyle \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits \left[(x-y)+i(x+y)\right]$ $\displaystyle \leq 1,$    
$\displaystyle x+y$ $\displaystyle \leq 1.$    

Skup rješenja zadnje nejednadžbe je poluravnina $ y\leq -x+1$ . Konačno rješenje je presjek dobivenog kruga i poluravnine (vidi sliku 1.2).

Slika 1.2: Slika skupa $ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2\colon x^2+(y-1)^2\leq 1,y\leq -x+1\}$ .
\begin{figure} % latex2html id marker 1169 \begin{center} \epsfig{file=osnove/zad117a.eps, width=6cm} \end{center}\end{figure}

b)
Modul traženih kompleksnih brojeva zadovoljava kvadratnu nejednadžbu $ \vert z\vert^2-5\vert z\vert+6<0$ iz čega slijedi $ \vert z\vert\in\langle 2,3\rangle$ , odnosno

$\displaystyle 2<\vert z\vert<3.$

Uvrštavanjem $ z=x+iy$ u gornji izraz te njegovim kvadriranjem dobivamo

$\displaystyle 4<x^2+y^2<9,$

tj. kružni vijenac manjeg radijusa $ 2$ , a većeg $ 3$ sa središtem u ishodištu, pri čemu rubovi nisu uključeni. Konačno rješenje dobivamo presijecanjem s dijelom kompleksne ravnine koji se nalazi između polupravaca $ \arg z=\frac{\pi}{3}$ i $ \arg z=\pi$ (vidi sliku 1.3).

Slika 1.3: Slika skupa $ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2\colon 4<x^2+y^2<9\}\cap \{z\in \mathbb{C}\colon \frac {\pi }{3}\leq \arg z\leq \pi \}$ .
\begin{figure} % latex2html id marker 1179 \begin{center} \epsfig{file=osnove/zad117b.eps, width=6cm}\end{center}\end{figure}

c)
Nakon uvrštavanja $ z=x+iy$ dolazimo do iracionalne jednadžbe

$\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}>2+y.$ (1.9)

U ovisnosti o vrijednosti desne strane nejednadžbe, razlikujemo dva slučaja. Ako je $ 2+y>0$ , kvadriranjem dobivamo

$\displaystyle x^2+y^2$ $\displaystyle >(2+y)^2,$    
$\displaystyle x^2+y^2$ $\displaystyle >4+4y+y^2,$    
$\displaystyle x^2$ $\displaystyle >4+4y,$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle <\frac{x^2}{4}-1.$    

Dakle, rješenje u ovom slučajau je dio kompleksne ravnine između parabole $ y=\frac{x^2}{4}-1$ i pravca $ y=-2$ , pri čemu ni pravac ni parabola nisu uključeni. U slučaju kada je $ 2+y\leq0$ , nejednakost (1.9) uvijek vrijedi jer je lijeva strana pozitivna, a desna negativna. Stoga je rješenje u ovom slučaju poluravnina $ y\leq -2$ . Konačno rješenje je unija rješenja u prvom i drugom slučaju, odnosno dio kompleksne ravnine ispod parabole $ y=\frac{x^2}{4}-1$ bez točaka parabole (vidi sliku 1.4).

Slika 1.4: Slika skupa $ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2\colon y<\frac {x^2}{4}-1\}$ .
\begin{figure} % latex2html id marker 1203 \begin{center} \epsfig{file=osnove/zad117c.eps, width=6cm} \end{center}\end{figure}

d)
Budući je

$\displaystyle \left\vert\frac{z-2}{z+1-i}\right\vert=\frac{\vert z-2\vert}{\vert z+1-i\vert},$

množenjem prve nejednadžbe s pozitivnim brojem $ \vert z+1-i\vert$ slijedi

$\displaystyle \vert z-2\vert$ $\displaystyle \geq \vert z+1-i\vert,$    
$\displaystyle \vert(x-2)+yi\vert$ $\displaystyle \geq \vert(x+1)+(y-1)i\vert,$    
$\displaystyle \sqrt{(x-2)^2+y^2}$ $\displaystyle \geq \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}, \quad\big/\,^2$    
$\displaystyle (x-2)^2+y^2$ $\displaystyle \geq (x+1)^2+(y-1)^2,$    
$\displaystyle x^2-4x+4+y^2$ $\displaystyle \geq x^2+2x+1+y^2-2y+1,$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle \geq 3x-1.$    

Uvrštavanjem $ z=x+iy$ i racionalizacijom nazivnika slijedi

$\displaystyle \frac{1}{\overline{z}}=\frac{1}{x-iy}\cdot\frac{x+iy}{x+iy}=\frac{x+iy}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{y}{x^2+y^2}\,i,$

pa je

$\displaystyle \mathop{\mathrm{Re}}\nolimits \left(\frac{1}{\overline{z}}\right)=\frac{x}{x^2+y^2}.$

Iz druge nejednadžbe slijedi

$\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$ $\displaystyle \leq \frac{1}{2},$    
$\displaystyle x^2+y^2$ $\displaystyle \geq 2x,$    
$\displaystyle (x^2-2x+1)+y^2$ $\displaystyle \geq 1,$    
$\displaystyle (x-1)^2+y^2$ $\displaystyle \geq 1.$    

Zadnja nejednakost predstavlja dio kompleksne ravnine izvan kruga radijusa $ 1$ sa središtem u točki $ S(1,0)$ . Rješenje dobivamo presijecanjem s poluravninom $ y\geq 3x-1$ (vidi sliku 1.5).

Slika 1.5: Slika skupa $ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2\colon (x-1)^2+y^2\geq 1,y\geq 3x-1 \}$ .
\begin{figure} % latex2html id marker 1243 \begin{center} \epsfig{file=osnove/zad117d.eps, width=6cm}\end{center}\end{figure}

Jednadžbe u skupu kompleksnih     OSNOVE MATEMATIKE     Sustav jednadžbi u skupu