×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Kompleksna ravnina     OSNOVE MATEMATIKE     Sustav nejednadžbi u skupu

Sustav jednadžbi u skupu kompleksnih brojeva

Riješite jednadžbu

$$a^{10} z^2 = \vert a^3\vert \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3,$$ (1.10)

ako za kompleksni broj $a$ vrijedi

$$\vert a\vert+a = \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i.$$ (1.11)

Rješenje. Uvrštavanjem $a=x+iy$ u (1.11) slijedi

$$\sqrt{x^2+y^2}+x+iy = \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i.$$

Zbog jednakosti kompleksnih brojeva s lijeve i desne strane jednadžbe vrijedi

$$\sqrt{x^2+y^2}+x = \frac{3}{2}\quad\textrm{ i }\quad y = -\frac{\sqrt{3}}{2},$$

odakle slijedi

$$\sqrt{x^2+\frac{3}{4}} = \frac{3}{2}-x,$$

$$x^2+\frac{3}{4} = \frac{9}{4} -3x +x^2,$$

$$x = \frac{1}{2}.$$

Dakle,

$$a=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i$$

Da bismo riješili jednadžbu (1.10), trebamo prvo izračunati $a^{10}$ . Prema poglavlju [M1, poglavlje 1.8.1] je $\vert a\vert=1$ , a za argument vrijedi $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi =-\sqrt{3}$ pa je trigonometrijski oblik jednak

$$a = 1\cdot\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right).$$

De Moivreova formula [M1, (1.4)] za $n=10$ daje

$$a^{10} = 1^{10}\left[\cos\left(10\cdot\frac{5\pi}{3}\right)+i\sin\left(1... ...t)\right] = \cos\left(\frac{50\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{50\pi}{3}\right)=$$

$$= \cos\left(16\pi+\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(16\pi+\frac{2\... ...i}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Nadalje, zbog $\vert a\vert=1$ je $\vert a^3\vert=\vert a\vert^3=1$ . Još vrijedi

$$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3=\left(\frac{1+i}{1-i}\cdot\frac{1+... ...t)^3= \left(\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}\right)^3=\left(\frac{2i}{2}\right)^3=i^3=-i.$$

Uvrštavanjem dobivenih rezultata u (1.10) dobivamo

$$\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) z^2 = -i,$$

odnosno $z^2=w$ , pri čemu je

$$w = \frac{-i}{\displaystyle -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}=\fr... ...,i}{\displaystyle -\frac{1}{4}-\frac{3}{4}}=-\frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{1}{2}\,i$$

ili u trigonometrijskom obliku

$$w =1\cdot\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right).$$

Primjenom formule [M1, (1.5)] za $n=2$ slijedi

$$\sqrt{w} = \sqrt{1}\left(\cos\frac{\frac{5\pi}{6}+2k\pi}{2}+ i\sin\frac{\frac{5\pi}{6}+2k\pi}{2}\right), \quad k=0,1.$$

Dakle, rješenja jednadžbe (1.10) su:

$$z_0=\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12},$$

$$z_1=\cos\frac{17\pi}{12}+i\sin\frac{17\pi}{12}.$$

Kompleksna ravnina     OSNOVE MATEMATIKE     Sustav nejednadžbi u skupu