Mješoviti produkt

Zadani su vektori $\mathbf{a}=\{1,2\alpha,1\}$ , $\mathbf{b}=\{2,\alpha,\alpha\}$ i $\mathbf{c}=\{3\alpha,2,-\alpha\}$ .

a): Izračunajte mješoviti produkt vektora $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ .
b): Odredite $\alpha\in\mathbb{R}$ takav da su vektori $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ komplanarni.

Rješenje.

a)

Prema

[M1, teorem 3.4], mješoviti produkt vektora $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ je

$\displaystyle (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$	$\displaystyle = \begin{vmatrix}1 & 2\alpha & 1\\ 2 & \alpha & \alpha\\ 3\alpha ... ... 1\cdot(-\alpha^2-2\alpha)-2\alpha\cdot(-2\alpha-3\alpha^2)+1\cdot(4-3\alpha^2)$
	$\displaystyle = 6\alpha^3-2\alpha+4.$

b)

Prema

[M1, poglavlje 3.11], vektori $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ su komplanarni ako vrijedi

$\displaystyle (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=0,$

odnosno ako je

$\displaystyle 6\alpha^3-2\alpha+4=0.$

Ova jednadžba ima samo jedno realno rješenje $\alpha=-1$ .