Ortogonalna projekcija pravca na ravninu

Odredite parametarsku jednadžbu ortogonalne projekcije

pravca

$\displaystyle p \ \ldots \ \frac{x}{-2}=\frac{y-\frac{12}{7}}{1}=\frac{z-\frac{10}{7}}{3}$

na ravninu $\pi\ \ldots\ 2x-y+5z-5=0$ .

Rješenje. Neka je $\pi_1$ ravnina koja sadrži pravac i okomita je na ravninu $\pi$ . Pravac prolazi točkom

$\displaystyle T\left(0,\frac{12}{7},\frac{10}{7}\right)$

i ima vektor smjera $\mathbf{s}=\{-2,1,3\}$ . Vektor normale ravnine $\pi$ je $\mathbf{n} =\{2,-1,5\}$ . Stoga ravnina $\pi_1$ prolazi točkom

i vektor normale $\mathbf{n}_1$ je kolinearan vektoru

$\displaystyle \mathbf{n}\times \mathbf{s}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf... ... & 1 & 3 \end{vmatrix}=-8\mathbf{i} -16 \mathbf{j}=-8(\mathbf{i} +2\mathbf{j}),$

pa možemo uzeti $\mathbf{n}_1=\mathbf{i} +2\mathbf{j}$ . Jednadžba ravnine $\pi_1$ glasi

$\displaystyle 2\cdot(x-0)+4\cdot\left(y-\frac{12}{7}\right)+0\cdot\left(z-\frac{10}{7}\right)=0,$

odnosno

$\displaystyle 7x+14y-24=0.$

Pravac

je presjek ravnina $\pi$ i $\pi_1$ , odnosno zadan je jednadžbama

$\displaystyle 2x-y+5z-5=0,$
$\displaystyle 7x+14y-24=0.$

Odredimo sada parametarsku jednadžbu pravca

. Iz druge jednadžbe slijedi

$\displaystyle x=-2y+\frac{24}{7}.$

Uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobivamo

$\displaystyle 2\left(-2y+\frac{24}{7}\right)-y+5z-5=0,$

odakle slijedi

$\displaystyle z=y-\frac{13}{35}.$

Stavimo li $y=t, t\in\mathbb{R}$ , dobivamo traženu parametarsku jednadžbu

$\displaystyle x=-2t+\frac{24}{7},\quad y=t,\quad z=t-\frac{13}{35},\quad t\in\mathbb{R}.$

Ortogonalna projekcija točke na VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA Udaljenost točaka