×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Udaljenost ravnina     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Udaljenost točke od pravca

Udaljenost pravca od ravnine

Nađite ravninu $\pi$ koja je paralelna pravcima

$$p_1\ \ldots\ \left\{ \begin{matrix} y=2x-1\\ z=3x+2 \end{matrix}... ...d\quad p_2\ \ldots\ \left\{ \begin{matrix} y=-x+2\\ z=4x-1 \end{matrix}\right.$$

i jednako udaljena od tih pravaca.

Rješenje. Opća jednadžba ravnine $\pi$ glasi

$$Ax+By+Cz+D=0.$$

Stavljanjem $x=t,\, t\in\mathbb{R}$ dobivamo parametarsku jednadžbu pravca $p_1$

$$x=t,\quad y=2t-1,\quad z=3t+2, \quad t\in\mathbb{R}$$

i pravca $p_2$

$$x=t,\quad y=-t+2,\quad z=4t-1, \quad t\in\mathbb{R}.$$

Vektor normale $\mathbf{n}$ ravnine $\pi$ je okomit na vektore smjera $\mathbf{s}_1=\{1,2,3\}$ i $\mathbf{s}_2=\{1,-1,4\}$ zadanih pravaca pa možemo staviti

$$\mathbf{n} =\mathbf{s}_1\times\mathbf{s}_2= \begin{vmatrix} \math... ... 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix}=11 \mathbf{i} -\mathbf{j} -3\mathbf{k}.$$

Dakle, $A=11, B=-1$ i $C=-3$ . Preostaje izračunati $D$ iz uvjeta

$$d(p_1,\pi)=d(p_2,\pi).$$

Budući je ravnina $\pi$ paralelna pravcima $p_1$ i $p_2$ , slijedi

$$d(T_1, \pi)=d(T_2, \pi),$$

gdje je $T_1$ proizvoljna točka na pravcu $p_1$ , a $T_2$ na pravcu $p_2$ . Uzmemo li $T_1(0,-1,2)$ i $T_2(0,2,-1)$ , prema formuli (3.4), vrijedi

$$\frac{\vert 11\cdot 0-1\cdot(-1)-3\cdot2+D\vert}{\sqrt{11^2+1^2+3^2}} =\frac{\vert 11\cdot 0-1\cdot2-3\cdot(-1)+D\vert}{\sqrt{11^2+1^2+3^2}},$$

odnosno

$$\vert D-5\vert=\vert D+1\vert.$$

Odatle dobivamo $D=2$ i jednadžbu ravnine $\pi$ ,

$$11x-y-3z+2=0.$$