Realni i imaginarni dio kompleksnog broja

Odredite realni i imaginarni dio kompleksnog broja ako je:

a): $z=\displaystyle\frac{i^{6}+i^3}{i^2-i^7}$ ,
b): $z=\displaystyle\frac{4\, i^{303}}{\sqrt{3}+i}$ .

Rješenje.

a)

Budući je $i^2=-1,\,\, i^3=-i,\,\, i^6=i^4\cdot i^2=1\cdot(-1)=-1,\,\, i^7=i^4\cdot i^3=1\cdot(-i)=-i$ , uvrštavanjem i racionalizacijom nazivnika slijedi

$\displaystyle z=\frac{i^{6}+i^3}{i^2-i^7}=\frac{-1-i}{-1+i}=\frac{1+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{1+2i-1}{1-(-1)}=\frac{2i}{2}=i$

pa je $\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z=0,\, \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z=1$ .

b)

Budući je $i^{303}=i^{4\cdot75+3}=\left(i^4\right)^{75}\cdot i^3=1^{75}\cdot (-i)=-i$ , racionalizacijom nazivnika slijedi

$\displaystyle z=\frac{-4i}{\sqrt{3}+i}\cdot\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}-i}= \frac... ...^2-i^2}=\frac{-4\sqrt{3}\,i-4}{3-(-1)}=\frac{-4-4\sqrt{3}\,i}{4}=-1-\sqrt{3}\,i$

pa je $\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z=-1,\, \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z=-\sqrt{3}$ .