Neodređeni oblik $\infty / \infty$

Izračunajte:

a): $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}$ ,
b): $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$ .

Rješenje.

a)

Računanje zadanog limesa daje neodređeni oblik $\frac{\infty}{\infty}$ . Izlučimo li $\sqrt{x}$ iz brojnika i nazivnika razlomka pod limesom, dobivamo

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}$	$\displaystyle = \lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\sqrt{x}\cdot \left(1+\frac... ...rac{1}{\sqrt[6]{x}}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}} {\sqrt{\displaystyle 2+\frac{1}{x}}}$
	$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}},$

pri čemu koristimo

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^a}=0,\quad a>0.$

b)

Računanje zadanog limesa daje neodređeni oblik $\frac{\infty}{\infty}$ . Izlučivanjem $\sqrt{x^2}$ iz brojnika i

iz nazivnika razlomka pod limesom, dobivamo

$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$	$\displaystyle = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{\displaystyle\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{1+\... ...\infty}\frac{\displaystyle\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} {\displaystyle 1+\frac{1}{x}}$
	$\displaystyle = \left\{ \begin{matrix}\,\,\,\,1, & x\to+\infty\\ -1, & x\to-\infty \end{matrix} \right.$

jer je

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\vert x\vert}{x}=1\quad\textrm{i}\quad\lim_{x\to-\infty}\frac{\vert x\vert}{x}=-1.$