Neodređeni oblik

Izračunajte:

a): $\displaystyle\lim_{x\to1}\,\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}$ ,
b): $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}$ ,
c): $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}$ .

Rješenje.

a)

Računanje zadanog limesa daje neodređeni oblik $\frac{0}{0}$ , jer nakon uvrštavanja

izraz u brojniku i izraz u nazivniku poprimaju vrijednost nula. Njihovim rastavljanjem na faktore dobivamo i u brojniku i u nazivniku faktor

pa možemo razlomak skratiti tim faktorom. Sada je

$\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to1}\,\,\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}= \lim_{x\to1}... ...)\cdot (x+1)}{(x-1)\cdot (2x+1)}= \lim_{x\to1}\,\,\frac{x+1}{2x+1}=\frac{2}{3}.$

b)

Zadani limes daje neodređeni oblik $\frac{0}{0}$ . Racionalizacijom brojnika dobivamo

$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}$	$\displaystyle = \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x} \frac{\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)}{\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)}$
	$\displaystyle = \lim_{x\to 0}\frac{(1-2x-x^2)-(1+x)^2}{x\left(\sqrt{1-2x-x^2}+1+x\right)}$
	$\displaystyle = \lim_{x\to 0}\frac{-2x^2-4x}{x\left(\sqrt{1-2x-x^2}+1+x\right)}$
	$\displaystyle = \lim_{x\to 0}\frac{-2x-4}{\sqrt{1-2x-x^2}+1+x}=-2.$

c)

Zadani limes daje neodređeni oblik $\frac{0}{0}$ . Supstitucijom $x=t^{12}$ dobivamo

$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}= \begin{Bmatrix}x=t^{12}\\ x\to1\\ t\to1 \end{Bmatrix}$	$\displaystyle = \lim_{t\to1}\frac{t^4-1}{t^3-1}$
	$\displaystyle = \lim_{t\to1}\frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{(t-1)(t^2+t+1)}$
	$\displaystyle = \lim_{t\to1}\frac{(t+1)(t^2+1)}{t^2+t+1}=\frac{4}{3}.$

Neodređeni oblik FUNKCIJE REALNE VARIJABLE Neodređeni oblik